Построить график функции методом сдвига и деформации y = 4x^2 - 8x +4 /- x +2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для построения графика функции ( y = \frac{4x^2 - 8x + 4}{-x + 2} ) с использованием метода сдвига и деформации, начнем с анализа функции.

Упрощение функции:
Рассмотрим числитель:
[
4x^2 - 8x + 4 = 4(x^2 - 2x + 1) = 4(x - 1)^2.
]

Теперь подставим это в нашу функцию:
[
y = \frac{4(x - 1)^2}{-x + 2}.
]

Функция имеет вид:
[
y = \frac{4(x - 1)^2}{-(x - 2)}.
]

Определение области определения:
Область определения функции — это все значения ( x ), для которых знаменатель не равен нулю. Знаменатель равен нулю, когда:
[
-x + 2 = 0 \implies x = 2.
]
Таким образом, ( x = 2 ) не входит в область определения функции.

Находение асимптот:
Теперь рассмотрим вертикальную асимптоту при ( x = 2 ). Для нахождения горизонтальной асимптоты нам нужно исследовать поведение функции при ( x \to \pm \infty ):

Когда ( x ) стремится к бесконечности, высшие степени в числителе и знаменателе доминируют. В нашем случае:
[
y \sim \frac{4x^2}{-x} = -4x \to -\infty \quad \text{при } x \to +\infty.
]
То есть, у нас нет горизонтальной асимптоты.

Построение графика:
Для построения графика функции, выберем несколько промежуточных значений ( x ) и найдем соответствующие значения ( y ).

Условные точки:

При ( x = 0 ):
[
y(0) = \frac{4(0 - 1)^2}{-0 + 2} = \frac{4(1)}{2} = 2.
]При ( x = 1 ):
[
y(1) = \frac{4(1 - 1)^2}{-1 + 2} = \frac{0}{1} = 0.
]При ( x = 3 ):
[
y(3) = \frac{4(3 - 1)^2}{-3 + 2} = \frac{4(4)}{-1} = -16.
]

Вычисляя и другие точки, построим график различных значений. Обратите внимание на поведение функции около ( x = 2 ) (пересекает асимптоту).

Интервал изменений:
Рекомендуется обследовать поведение функции на интервалах, прежде всего, до и после точки ( x = 2 ).

Теперь на основе всех этих данных мы можем построить график функции.

Для графического построения вы можете использовать графические калькуляторы, программное обеспечение или такие онлайн-сервисы, как Desmos.