Олимпиада по математике Пусть b=72b=72. Какой периметр мог быть у этого треугольника? Укажите все варианты в любом порядке.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы ответить на вопрос о возможных периметрах треугольника с одной стороной, равной ( b = 72 ), мы можем использовать неравенство треугольника. Это неравенство гласит, что сумма любой двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны.

Обозначим стороны треугольника как ( a ), ( b ) и ( c ), где ( b = 72 ). Неравенство треугольника может быть записано в следующих формах:

Подставляя ( b = 72 ):

Из первого неравенства получаем ( c < a + 72 ).
Из второго неравенства получаем ( c > 72 - a ).
Из третьего неравенства получаем ( c > a - 72 ) (которое не плюсует ничего нового, если ( a ) и ( c ) положительны).

Таким образом, ( c ) должно находиться в интервале:

[ 72 - a < c < a + 72 ]

Теперь обозначим периметр ( P ) треугольника:

[ P = a + b + c = a + 72 + c ]

Подставляя ограничения на ( c ):

Минимальный периметр может быть при ( c = 72 - a ):
[ P_{min} = a + 72 + (72 - a) = 144 ]

Максимальный периметр может быть при ( c = a + 72 ):
[ P_{max} = a + 72 + (a + 72) = 2a + 144 ]

Теперь, учитывая, что ( a > 0 ), минимальное значение ( a ) равно ( 0 ). То есть, при ( a = 0 ), минимальный периметр равен ( 144 ).

Таким образом, периметр ( P ) может принимать все значения, начиная от ( 144 ) и увеличиваясь, в зависимости от значения ( a ). Можно сказать, что ( P ) стремится к бесконечности:

Ответ: Периметр треугольника может быть ( P \geq 144 ).