Решите иррациональное уравнение: Б) √3x²+5x+8 = 3+x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы решить иррациональное уравнение ( \sqrt{3x^2 + 5x + 8} = 3 + x ), начнем с того, что необходимо избавиться от квадратного корня. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

[
3x^2 + 5x + 8 = (3 + x)^2
]

Теперь раскроем скобки:

[
3x^2 + 5x + 8 = 9 + 6x + x^2
]

Переносим все члены в одну сторону:

[
3x^2 + 5x + 8 - 9 - 6x - x^2 = 0
]

Упрощаем уравнение:

[
(3x^2 - x^2) + (5x - 6x) + (8 - 9) = 0
]

[
2x^2 - x - 1 = 0
]

Теперь можно решить квадратное уравнение ( 2x^2 - x - 1 = 0 ) с помощью дискриминанта:

[
D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9
]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два решения:

[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{4} = 1
]

[
x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}
]

Теперь у нас есть два кандидата решения: ( x_1 = 1 ) и ( x_2 = -\frac{1}{2} ). Необходимо проверить их на предмет удовлетворения исходному уравнению.

Проверим ( x_1 = 1 ):
[
\sqrt{3(1)^2 + 5(1) + 8} = \sqrt{3 + 5 + 8} = \sqrt{16} = 4
]
[
3 + 1 = 4
]
Уравнение выполняется.

Проверим ( x_2 = -\frac{1}{2} ):
[
\sqrt{3\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 5\left(-\frac{1}{2}\right) + 8} = \sqrt{3 \cdot \frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 8} = \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{10}{4} + \frac{32}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}
]
[
3 - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}
]
Уравнение тоже выполняется.

Таким образом, оба значения являются решениями. Ответ:

[
x = 1 \quad \text{и} \quad x = -\frac{1}{2}
]