Задача по геометрии Точки K, L, M лежат на сторонах AB, BC, CA треугольника ABC соответственно, причём площади треугольников AKM, CLM, BKL, KLM равны 30, 15, 7, 18 соответственно. Найдите отношения AK:KB, AM:MC, CL:LB

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте обозначим площади треугольника ( ABC ) за ( S ). Из условия задачи знаем площади треугольников:

( S_{AKM} = 30 )( S_{CLM} = 15 )( S_{BKL} = 7 )( S_{KLM} = 18 )

Теперь найдём площадь треугольника ( ABC ):

[
S = S{AKM} + S{CLM} + S{BKL} + S{KLM} = 30 + 15 + 7 + 18 = 70.
]

Теперь найдем отношения отрезков ( AK:KB ), ( AM:MC ), ( CL:LB ), пользуясь пропорциями площадей.

Рассмотрим треугольник ( ABC ) и точки ( K, L, M ):

Для треугольника ( AKB ):

Площадь ( S{AKB} = S{AKM} + S{KLM} + S{BKL} = 30 + 18 + 7 = 55 ).Обозначим ( AK = x ) и ( KB = y ), тогда ( S_{AKB} = S \cdot \frac{x}{x+y} ) и[ \frac{S{AKM}}{S{AKB}} = \frac{30}{55} = \frac{6}{11} ]Значит, отношение ( AK:KB = 6:5 ) (так как ( x = 6k ), ( y = 5k )).

Для треугольника ( AMC ):

Площадь ( S{AMC} = S{AKM} + S{KLM} + S{CLM} = 30 + 18 + 15 = 63 ).Обозначим ( AM = u ) и ( MC = v ), тогда ( S_{AMC} = S \cdot \frac{u}{u+v} ) и[ \frac{S{AM}}{S{AMC}} = \frac{30}{63} = \frac{10}{21} ]Значит, отношение ( AM:MC = 10:11 ) (так как ( u = 10p ), ( v = 11p )).

Для треугольника ( CBL ):

Площадь ( S{CBL} = S{BKL} + S{KLM} + S{CLM} = 7 + 18 + 15 = 40 ).Обозначим ( CL = a ) и ( LB = b ), тогда ( S_{CBL} = S \cdot \frac{a}{a+b} ) и[ \frac{S{CL}}{S{CBL}} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8} ]Значит, отношение ( CL:LB = 3:5 ) (так как ( a = 3m ), ( b = 5m )).

В результате получаем следующие отношения:
[
AK:KB = 6:5, \quad AM:MC = 10:11, \quad CL:LB = 3:5.
]