Определите, при каких а, имеет уравнение или параметр определите, при каких а, имеет уравнение:
(x^2-4x+3-a)^2=2x^4-2x
Имеет единственное решение на отрезке [-1;1]. В ответе укажите сумму всех целых значений параметра a.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Рассмотрим уравнение:

[
(x^2 - 4x + 3 - a)^2 = 2x^4 - 2x.
]

Для того чтобы уравнение имело единственное решение на отрезке ([-1;1]), необходимо, чтобы правая часть уравнения,

[
f(x) = 2x^4 - 2x,
]

пересекалась с левой частью уравнения,

[
g(x) = (x^2 - 4x + 3 - a)^2,
]

ровно в одной точке на заданном отрезке.

Дано уравнение (g(x) = (x^2 - 4x + 3 - a)^2). Упростим его:

[
x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3).
]

Следовательно,

[
g(x) = ((x-1)(x-3) - a)^2.
]

Теперь для нахождения пересечения функций (f(x)) и (g(x)) важно определить, как функция (f(x)) ведёт себя на рассматриваемом отрезке. Вычислим (f(x)) в крайних точках:

[
f(-1) = 2(-1)^4 - 2(-1) = 2 \cdot 1 + 2 = 4,
]
[
f(1) = 2(1)^4 - 2(1) = 2 - 2 = 0.
]

Так как (f(x)) является четвёртой степенью и принимает минимальное значение при (x=1), а также имеет четный характер, график функции (f(x)) будет иметь вид "U", и будет повышаться в обе стороны от (x=1), пересекая ось (y=0) на ([-1; 1]).

Теперь найдем значение (g(x)):

Найдем значение (g(x)) в крайних точках:

[
g(-1) = ((-1-1)(-1-3) - a)^2 = ((-2)(-4) - a)^2 = (8 - a)^2,
]
[
g(1) = ((1-1)(1-3) - a)^2 = (0 - a)^2 = a^2.
]

Для того чтобы (g(x)) пересекалось с (f(x)) ровно в одной точке, необходимо, чтоб:

Тогда мы получим два условия:
1) (a^2 = 0 \implies a = 0),
2) ((8 - a)^2 = 4 \implies 8 - a = \pm 2).

Решая эти уравнения:

Таким образом, целые значения параметра (a): (0, 6, 10).

Теперь вычислим сумму всех целых значений (a):

[
0 + 6 + 10 = 16.
]

Ответ: (\boxed{16}).