РАЗЛОЖИТЕ НА МНОЖИТЕЛИ x*(y + z)^2 + y*(x + z)^2 + z*(x + y)^2 - 4xyz

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте разложим данное выражение ( x(y + z)^2 + y(x + z)^2 + z(x + y)^2 - 4xyz ).

[
(y + z)^2 = y^2 + 2yz + z^2,
]
[
(x + z)^2 = x^2 + 2xz + z^2,
]
[
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.
]

Теперь подставим эти разложения обратно в выражение:

[
x(y + z)^2 = x(y^2 + 2yz + z^2) = xy^2 + 2xyz + xz^2,
]
[
y(x + z)^2 = y(x^2 + 2xz + z^2) = yx^2 + 2yxz + yz^2,
]
[
z(x + y)^2 = z(x^2 + 2xy + y^2) = zx^2 + 2zxy + zy^2.
]

Теперь сложим все три части выражения:

[
xy^2 + xz^2 + 2xyz + yx^2 + yz^2 + 2yxz + zx^2 + zy^2 + 2zxy.
]

Соберем все измененные члены:

[
= xy^2 + yx^2 + xz^2 + yz^2 + zx^2 + zy^2 + (2xyz + 2yxz + 2zxy).
]

Теперь упростим это, объединяя все члены:

[
= xy^2 + x^2y + xz^2 + y^2z + x^2z + y^2x + 6xyz.
]

Теперь вычтем ( 4xyz ):

[
xy^2 + x^2y + xz^2 + y^2z + x^2z + y^2x + 2xyz.
]

Теперь мы можем попробовать собрать все вместе и воспользоваться формулами для разложения. После некоторых манипуляций (для поиска общего множителя) у нас получается, что выражение можно разложить на множители:

[
= (x + y + z)(xy + xz + yz).
]

В итоге, разложение выражения:

[
x(y + z)^2 + y(x + z)^2 + z(x + y)^2 - 4xyz = (x + y + z)(xy + xz + yz).
]