Вычислить площадь фигуры ограниченную заданными линиями y=x^2, y=49

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 ) и ( y = 49 ), необходимо сначала найти точки пересечения этих двух функций.

Найдем точки пересечения: [
x^2 = 49
]
Решим это уравнение:
[
x = \pm \sqrt{49} = \pm 7
]
Таким образом, точки пересечения находятся в точках ( x = -7 ) и ( x = 7 ).

Определим площадь между кривой и прямой: Площадь фигуры, ограниченной этими линиями, может быть найдена с помощью определенного интеграла от ( y = x^2 ) до ( y = 49 ):
[
S = \int_{-7}^{7} (49 - x^2) \, dx
]

Вычислим интеграл: [
S = \int{-7}^{7} 49 \, dx - \int{-7}^{7} x^2 \, dx
]

Первый интеграл:
[
\int_{-7}^{7} 49 \, dx = 49 \cdot (7 - (-7)) = 49 \cdot 14 = 686
]

Второй интеграл:
[
\int{-7}^{7} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]{-7}^{7} = \frac{7^3}{3} - \frac{(-7)^3}{3} = \frac{343}{3} - \frac{-343}{3} = \frac{343 + 343}{3} = \frac{686}{3}
]

Подставим значения в формулу для площади: [
S = 686 - \frac{686}{3}
]
Приведем к общему знаменателю:
[
S = \frac{2058}{3} - \frac{686}{3} = \frac{2058 - 686}{3} = \frac{1372}{3}
]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 ) и ( y = 49 ), равна
[
\boxed{\frac{1372}{3}}.
]