Задание из домашней работы MD - перпендикуляр к плоскости квадрата ABCD равный 6 см. Наклонная MB образует с плоскостью ABCD угол равный 60 градусов. Докажите, что треугольники MAB и MAC прямоугольные. Найдите сторону квадрата ABCD. Найдите площадь треугольника ABD
Для решения задачи рассмотрим сначала треугольники ( MAB ) и ( MAC ), а затем найдем длину стороны квадрата ( ABCD ) и площадь треугольника ( ABD ).
1. Прямоугольные треугольники:
Треугольник MAB:
В треугольнике ( MAB ) ( MB ) образует угол ( 60^\circ ) с плоскостью квадрата ( ABCD ). Так как ( MD ) перпендикулярен плоскости квадрата, угол ( MAB ) также равен ( 90^\circ ) (по определению перпендикуляра).Таким образом, треугольник ( MAB ) является прямоугольным.
Треугольник MAC:
Аналогично, в треугольнике ( MAC ) также будет угол ( MAB = 90^\circ ), потому что ( MA ) и ( MD ) также перпендикулярны плоскости.Следовательно, треугольник ( MAC ) тоже является прямоугольным.
Таким образом, оба треугольника ( MAB ) и ( MAC ) являются прямоугольными.
2. Найдем сторону квадрата ABCD:
Обозначим сторону квадрата как ( a ). Треугольники ( MAB ) и ( MAC ) имеют высоту ( MD = 6 ) см и угол ( 60^\circ ). Используем соотношение в прямоугольном треугольнике ( MAB ):
[ \tan(60^\circ) = \frac{MB}{AB} ]
Из тригонометрических соотношений знаем, что:
[ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} ]
Следовательно:
[ \sqrt{3} = \frac{MB}{a} ]
Мы также можем выразить ( MB ) через ( MD ) и угол ( 60^\circ ): [ MB = MD \cdot \tan(60^\circ) = 6 \cdot \sqrt{3} ]
Теперь подставляем это значение в уравнение:
[ \sqrt{3} = \frac{6 \sqrt{3}}{a} ]
Умножаем обе стороны на ( a ): [ \sqrt{3} a = 6 \sqrt{3} ]
Делим обе стороны на ( \sqrt{3} ): [ a = 6 \text{ см} ]
3. Найдем площадь треугольника ABD:
Площадь треугольника ( ABD ) можно найти по формуле:
[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD ]
Стороны ( AB ) и ( AD ) равны ( a ), где ( a = 6 ) см:
Ответы:Треугольники ( MAB ) и ( MAC ) являются прямоугольными.Сторона квадрата ( ABCD ) равна ( 6 ) см.Площадь треугольника ( ABD ) равна ( 18 \text{ см}^2 ).
Для решения задачи рассмотрим сначала треугольники ( MAB ) и ( MAC ), а затем найдем длину стороны квадрата ( ABCD ) и площадь треугольника ( ABD ).
1. Прямоугольные треугольники:Треугольник MAB:
В треугольнике ( MAB ) ( MB ) образует угол ( 60^\circ ) с плоскостью квадрата ( ABCD ). Так как ( MD ) перпендикулярен плоскости квадрата, угол ( MAB ) также равен ( 90^\circ ) (по определению перпендикуляра).Таким образом, треугольник ( MAB ) является прямоугольным.Треугольник MAC:
Аналогично, в треугольнике ( MAC ) также будет угол ( MAB = 90^\circ ), потому что ( MA ) и ( MD ) также перпендикулярны плоскости.Следовательно, треугольник ( MAC ) тоже является прямоугольным.Таким образом, оба треугольника ( MAB ) и ( MAC ) являются прямоугольными.
2. Найдем сторону квадрата ABCD:Обозначим сторону квадрата как ( a ). Треугольники ( MAB ) и ( MAC ) имеют высоту ( MD = 6 ) см и угол ( 60^\circ ).
Используем соотношение в прямоугольном треугольнике ( MAB ):
[
\tan(60^\circ) = \frac{MB}{AB}
]
Из тригонометрических соотношений знаем, что:
[
\tan(60^\circ) = \sqrt{3}
]
Следовательно:
[
\sqrt{3} = \frac{MB}{a}
]
Мы также можем выразить ( MB ) через ( MD ) и угол ( 60^\circ ):
[
MB = MD \cdot \tan(60^\circ) = 6 \cdot \sqrt{3}
]
Теперь подставляем это значение в уравнение:
[
\sqrt{3} = \frac{6 \sqrt{3}}{a}
]
Умножаем обе стороны на ( a ):
[
\sqrt{3} a = 6 \sqrt{3}
]
Делим обе стороны на ( \sqrt{3} ):
3. Найдем площадь треугольника ABD:[
a = 6 \text{ см}
]
Площадь треугольника ( ABD ) можно найти по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD
]
Стороны ( AB ) и ( AD ) равны ( a ), где ( a = 6 ) см:
[
Ответы:Треугольники ( MAB ) и ( MAC ) являются прямоугольными.Сторона квадрата ( ABCD ) равна ( 6 ) см.Площадь треугольника ( ABD ) равна ( 18 \text{ см}^2 ).S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18 \text{ см}^2
]