Задача по геометрии а) Докажите, что в правильной треугольной пирамиде SABC, где S — вершина пирамиды,

б) Высота SO составляет от высоты SM боковой грани SAB. Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и её боковым ребром.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи рассмотрим правильную треугольную пирамиду ( SABC ), где основанием является правильный треугольник ( ABC ), а ( S ) — вершина пирамиды.

Часть а)

Доказать, что высота ( SO ) перпендикулярна плоскости основания ( ABC ):

В правильной треугольной пирамиде высота ( SO ) опускается из вершины ( S ) на плоскость основания ( ABC ). В правильной пирамиде ( S ) симметрично находится над центром треугольника ( ABC ), который обозначим ( O ) (центр массы или центроид).По определению высоты, она всегда перпендикулярна плоскости основания. Таким образом, ( SO ) перпендикулярно плоскости ( ABC ).

Следовательно, высота ( SO ) действительно перпендикулярна плоскости основания ( ABC ).

Часть б)

Теперь найдем угол между плоскостью основания пирамиды и её боковым ребром ( SA ).

Обозначим:

( h ) — высота пирамиды ( SO ) (высота от вершины пирамиды до основания),( R ) — радиус окружности, описанной около треугольника ( ABC ),( SA ) — боковое ребро, соединяющее вершину ( S ) с вершиной ( A ).

Поскольку треугольник ( ABC ) правильный, высота ( SO ) из вершины ( S ) будет пересекать основание ( ABC ) в точке ( O ), которая является центром окружности, описанной около равностороннего треугольника.

Угол ( \alpha ) между плоскостью основания и боковым ребром ( SA ) можно найти следующим образом:

Рассмотрим треугольник ( SOA ).Поскольку ( O ) — это центр и ( OA ) — радиус окружности, имеем ( OA = R ).Высота ( SO ) образует прямой угол с основанием ( OA ).

Угол ( \alpha ) можно найти по формуле:
[
\tan(\alpha) = \frac{SO}{OA}
]

Если ( h ) — высота ( SO ), а ( R ) — радиус окружности, то:
[
\tan(\alpha) = \frac{h}{R}
]

Таким образом, сам угол ( \alpha ) можно выразить:
[
\alpha = \arctan\left(\frac{h}{R}\right)
]

Это выражение даёт угол между плоскостью основания пирамиды ( ABC ) и боковым ребром ( SA ). Конкретные числовые значения для ( h ) и ( R ) были бы необходимы для вычисления точного угла.