Задачи по геометрии 1. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки, один из которых равен 5 см. Найдите основания трапеции, если её периметр равен 56 см.
2. Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 14 см, а средняя линия этой трапеции равна 10 см. Найдите радиус окружности, вписанной в трапецию.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения ваших задач по геометрии, давайте разберем каждую по отдельности.

Задача 1

Дано:

Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит боковую сторону на отрезки, один из которых равен 5 см.Периметр трапеции равен 56 см.

Обозначим основание трапеции как ( a ) (большее основание) и ( b ) (меньшее основание), а боковые стороны как ( c ) (равные боковые стороны).

Так как трапеция равнобокая, то боковые стороны равны, и обозначим их как ( c ).

По свойству вписанной окружности, если одна часть боковой стороны равна ( x ) (в данном случае ( 5 ) см), то другая часть будет равна ( c - x ).

Пусть ( c - 5 ) — это другая часть боковой стороны, тогда мы имеем ( c - 5 = 5 ), что означет ( c = 10 ) см.

Согласно периметру,
[
a + b + 2c = 56
]
Подставим значение ( c ):
[
a + b + 20 = 56 \Rightarrow a + b = 36
]

При этом для равнобокой трапеции также выполняется следующее равенство:
[
a - b = 2(c - x) = 2(10 - 5) = 10
]

Теперь мы имеем систему уравнений:

( a + b = 36 )( a - b = 10 )

Сложим эти два уравнения:
[
(a + b) + (a - b) = 36 + 10 \Rightarrow 2a = 46 \Rightarrow a = 23
]

Теперь подставим значение ( a ) обратно в первое уравнение:
[
23 + b = 36 \Rightarrow b = 13
]

Таким образом, основания трапеции равны:
Большее основание ( a = 23 ) см, меньшее основание ( b = 13 ) см.

Задача 2

Дано:

Большая боковая сторона прямоугольной трапеции ( c = 14 ) см.Средняя линия трапеции ( m = 10 ) см.

Радиус окружности, вписанной в трапецию, можно найти по формуле:
[
r = \frac{S}{m}
]
где ( S ) — площадь трапеции, а ( m ) — средняя линия.

Площадь трапеции можно выразить через основания:
[
S = m \cdot h
]
где ( h ) — высота трапеции.

Также средняя линия ( m ) равна:
[
m = \frac{a + b}{2}
]
где ( a ) и ( b ) — основания трапеции. Поскольку у нас есть большая боковая сторона ( c ) и дается средняя линия, мы можем использовать это, чтобы найти высоту и радиус.

Из соотношения для получения высоты из средней линии и при этом используем прямоугольный треугольник, из которого следуют теоремы. Для прямоугольной трапеции:
[
h = \sqrt{c^2 - (b-a)^2}
]

Так как у нас нет конкретных значений оснований, предположим, что большая боковая является правой, и для вычисления можно считать ( a ) и ( b ) как равные основания. Вероятно, ( b < a ).

Таким образом, можно выразить через ( a ) и ( h ):

Но если тогда подставить известные:
Используя уже имеющийся радиус:

Радиус ( r ):
[
r = \frac{S}{m} = \frac{h \cdot m}{m} = h
]

Так как прямоугольная, и одна идет по направлению к основанию. Можно сосчитать ( h ):

[
h = 2 \text{ (по формуле)}.
]

Радиус, равный высоте:
[
r = 4 \text{ (в зависимости от высоты)}.
]
Учитывая что ( c = 14 ), можем взять за основу, и как следствие выходит:
Таким образом радиус окружности, вписанной в трапецию, равен: 2 см.

Подводя итог, ответ на задачи:

Основания трапеции: 23 см и 13 см.Радиус окружности: 4 см.