Для доказательства того, что ( 17^{12} - 49^{6} ) кратно 10, достаточно показать, что это выражение кратно 2 и 5 (так как 10 = 2 * 5).
Проверим кратность 2:
Таким образом, ( 17^{12} - 49^{6} ) кратно 2.
Проверим кратность 5:
Найдем последние цифры ( 17^{12} ) и ( 49^{6} ) для определения кратности 5.
Последняя цифра ( 17^{12} ): последняя цифра ( 17 ) равна 7. Мы можем вычислить последние цифры степеней 7:[\begin{aligned}7^1 & = 7, \7^2 & = 49 \quad (\text{последняя цифра } 9), \7^3 & = 343 \quad (\text{последняя цифра } 3), \7^4 & = 2401 \quad (\text{последняя цифра } 1), \7^5 & = 16807 \quad (\text{последняя цифра } 7) \quad (\text{повторение цикла } 7, 9, 3, 1).\end{aligned}]
Цикл имеет длину 4: ( 7, 9, 3, 1 ). Чтобы найти последнюю цифру ( 17^{12} ), мы вычисляем ( 12 \mod 4 = 0 ). Значит, последняя цифра ( 17^{12} ) равна 1.
Последняя цифра ( 49^{6} ): последняя цифра ( 49 ) равна 9. Последняя цифра ( 9^1 = 9 ) и ( 9^2 = 81 ) (последняя цифра 1):[\begin{aligned}9^1 & = 9, \9^2 & = 81 \quad (\text{последняя цифра } 1), \9^3 & = 729 \quad (\text{последняя цифра } 9), \9^4 & = 6561 \quad (\text{последняя цифра } 1).\end{aligned}]
Цикл также имеет длину 2: ( 9, 1 ). Для ( 49^6 ): ( 6 \mod 2 = 0 ). Значит, последняя цифра ( 49^{6} ) равна 1.
Теперь находим последнюю цифру выражения:[17^{12} - 49^{6} \text{ (последние цифры: } 1 - 1 = 0).]
Таким образом, ( 17^{12} - 49^{6} ) кратно 5.
Теперь мы имеем:
Следовательно, ( 17^{12} - 49^{6} ) кратно ( 10 ).
Докажем, что ( 17^{12} - 49^{6} ) кратно 10.
Для доказательства того, что ( 17^{12} - 49^{6} ) кратно 10, достаточно показать, что это выражение кратно 2 и 5 (так как 10 = 2 * 5).
Проверим кратность 2:
( 17 ) - нечетное число, следовательно, ( 17^{12} ) - нечетное число.( 49 = 7^2 ), и ( 49^6 = (7^2)^6 = 7^{12} ) - также нечетное число.Разность двух нечетных чисел ( 17^{12} - 49^{6} ) будет четным числом (поскольку нечетное - нечетное = четное).Таким образом, ( 17^{12} - 49^{6} ) кратно 2.
Проверим кратность 5:
Найдем последние цифры ( 17^{12} ) и ( 49^{6} ) для определения кратности 5.
Последняя цифра ( 17^{12} ): последняя цифра ( 17 ) равна 7. Мы можем вычислить последние цифры степеней 7:
[
\begin{aligned}
7^1 & = 7, \
7^2 & = 49 \quad (\text{последняя цифра } 9), \
7^3 & = 343 \quad (\text{последняя цифра } 3), \
7^4 & = 2401 \quad (\text{последняя цифра } 1), \
7^5 & = 16807 \quad (\text{последняя цифра } 7) \quad (\text{повторение цикла } 7, 9, 3, 1).
\end{aligned}
]
Цикл имеет длину 4: ( 7, 9, 3, 1 ). Чтобы найти последнюю цифру ( 17^{12} ), мы вычисляем ( 12 \mod 4 = 0 ). Значит, последняя цифра ( 17^{12} ) равна 1.
Последняя цифра ( 49^{6} ): последняя цифра ( 49 ) равна 9. Последняя цифра ( 9^1 = 9 ) и ( 9^2 = 81 ) (последняя цифра 1):
[
\begin{aligned}
9^1 & = 9, \
9^2 & = 81 \quad (\text{последняя цифра } 1), \
9^3 & = 729 \quad (\text{последняя цифра } 9), \
9^4 & = 6561 \quad (\text{последняя цифра } 1).
\end{aligned}
]
Цикл также имеет длину 2: ( 9, 1 ). Для ( 49^6 ): ( 6 \mod 2 = 0 ). Значит, последняя цифра ( 49^{6} ) равна 1.
Теперь находим последнюю цифру выражения:
[
17^{12} - 49^{6} \text{ (последние цифры: } 1 - 1 = 0).
]
Таким образом, ( 17^{12} - 49^{6} ) кратно 5.
Теперь мы имеем:
( 17^{12} - 49^{6} ) кратно 2,( 17^{12} - 49^{6} ) кратно 5.Следовательно, ( 17^{12} - 49^{6} ) кратно ( 10 ).
Докажем, что ( 17^{12} - 49^{6} ) кратно 10.