Найти интервалы монотонности функции y=2x3+3x2-4

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти интервалы монотонности функции ( y = 2x^3 + 3x^2 - 4 ), необходимо сначала найти производную функции и определить, где она положительна, а где отрицательна.

Найдем производную функции:
[
y' = \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2 - 4) = 6x^2 + 6x
]

Упростим производную:
[
y' = 6x(x + 1)
]

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
[
6x(x + 1) = 0
]
Это уравнение имеет два корня:
[
x = 0 \quad \text{и} \quad x = -1
]

Теперь определим знаки производной на интервалах, выделенных критическими точками. Интервалы:

( (-\infty, -1) )( (-1, 0) )( (0, +\infty) )

Проверим знак производной на этих интервалах:

Для ( x < -1 ) (например, ( x = -2 )):
[
y' = 6(-2)(-2 + 1) = 6(-2)(-1) = 12 > 0 \quad (\text{функция возрастает})
]Для ( -1 < x < 0 ) (например, ( x = -0.5 )):
[
y' = 6(-0.5)(-0.5 + 1) = 6(-0.5)(0.5) = -1.5 < 0 \quad (\text{функция убывает})
]Для ( x > 0 ) (например, ( x = 1 )):
[
y' = 6(1)(1 + 1) = 6(1)(2) = 12 > 0 \quad (\text{функция возрастает})
]

Сводим результаты вместе:

Функция возрастает на интервале ( (-\infty, -1) ) и на ( (0, +\infty) ).Функция убывает на интервале ( (-1, 0) ).

Таким образом, интервалы монотонности функции:

Возрастает на ( (-\infty, -1) ) и ( (0, +\infty) )Убывает на ( (-1, 0) )