Вероятность и статистика Найди вероятность, что Саша, стреляет из арбалета, попадёт в мишень на восьмом выстреле из 10 попыток, если вероятность попадания при одном выстреле равна 8/10

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи можно использовать распределение Бернулли, которое подходит для событий с двумя исходами (в данном случае попадание и промах).

Сначала определим некоторые параметры:

( p = \frac{8}{10} = 0.8 ) — вероятность попадания в мишень на одном выстреле;( q = 1 - p = 0.2 ) — вероятность промаха;( n = 10 ) — общее количество выстрелов;( k = 8 ) — номер выстрела, на котором мы ожидаем попадание.

Чтобы найти вероятность того, что Саша попадет в мишень именно на восьмом выстреле, необходимо учитывать, что:

Из первых семи выстрелов он должен сделать 7 попаданий (все попадают).На восьмом выстреле он должен попасть.В оставшихся двух выстрелах (с девятого по десятый) он может либо попасть, либо промахнуться.

Вероятность того, что первые 7 выстрелов будут попаданиями, составит ( p^7 ). Вероятность попадания на восьмом выстреле — ( p ). Теперь необходимо учесть, что в двух оставшихся выстрелах (с девятого по десятый) могут быть любые исходы, что является биномиальным событием.

Обозначим количество возможных способов, которыми могут произойти два выстрела (x попаданий и y промахов), где ( x + y = 2 ). Возможные исходы:

Пожалуй, будет полезнее посчитать общее количество вариантов:
Попал в девятом, промахнулся в десятом ( p \cdot q )Промахнулся в девятом, попал в десятом ( q \cdot p )Промахнулся в девятом и промахнулся в десятом: ( q \cdot q )

Итак, вероятность попадания на восьмом выстреле равна:

[
P = \text{(вероятность 7 попаданий)} \cdot \text{(вероятность попадания на 8)} \cdot \text{(вероятность любых исходов с 9 и 10)}
]

[
= p^7 \cdot p \cdot (p + q)^{2}
]

Теперь мы можем подставить данные:

[
P = (0.8)^7 \cdot (0.8) \cdot (1) = (0.8)^8
]

Итак, запишем результат:

[
P = 0.8^8 = 0.16777216
]

Таким образом, вероятность того, что Саша попадет в мишень именно на восьмом выстреле, равна примерно ( 0.1678 ) или ( 16.78\% ).