В прямоугольнике ABCD шириной 1 и длиной 2 предположим, что AD — длина. Пусть R — точка, выбранная наугад внутри прямоугольника. Вероятность того, что < ARD — тупой угол, близка к X/400, где X — целое число. Найдите X

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Рассмотрим прямоугольник ABCD с шириной 1 и длиной 2. Обозначим координаты точек следующим образом:

A(0, 0)B(2, 0)C(2, 1)D(0, 1)

Пусть точка R имеет координаты (x, y), где 0 ≤ x ≤ 2 и 0 ≤ y ≤ 1. Угол (\angle ARD) будет тупым, если скалярное произведение векторов (\overrightarrow{AR}) и (\overrightarrow{DR}) будет отрицательным.

Векторы (\overrightarrow{AR}) и (\overrightarrow{DR}) будут иметь следующие координаты:

[
\overrightarrow{AR} = (x - 0, y - 0) = (x, y)
]

[
\overrightarrow{DR} = (x - 0, y - 1) = (x, y - 1)
]

Теперь вычислим скалярное произведение:

[
\overrightarrow{AR} \cdot \overrightarrow{DR} = x \cdot x + y \cdot (y - 1) = x^2 + y^2 - y
]

Для того чтобы угол (\angle ARD) был тупым, должно выполняться условие:

[
x^2 + y^2 - y < 0
]

или

[
x^2 + y^2 < y
]

Это неравенство можно переписать следующим образом:

[
x^2 + y^2 - y < 0 \implies x^2 + (y - \frac{1}{2})^2 < \frac{1}{4}
]

Это уравнение описывает круг, центрированный в точке ((0, \frac{1}{2})) с радиусом (\frac{1}{2}).

Теперь определим область, в которой находится этот круг относительно нашего прямоугольника ABCD.

Центр круга находится в точке (0, 0.5) и радиус равен 0.5. Круг будет пересекаться с границами прямоугольника:

По вертикали (x = 0) от y = 0 до y = 1.По горизонтали (y = 0.5) от x = -0.5 до x = 0.5.По верхней границе (y = 1): при y = 1, у нас (x^2 + 1 < 1) или (x^2 < 0), что не имеет решений.По нижней границе (y = 0): при y = 0, (x^2 < 0), что также не имеет решений.

Таким образом, круг полностью заполняет область от (0, 0) до (0, 1) и до (0.5, 1). Радиус круга позволяет ему пересекаться границы по x.

Теперь найдем площадь области, удовлетворяющей этому неравенству.

Площадь круга:

[
S_{\text{circle}} = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4}
]

Однако круг ограничен прямоугольником, поэтому нам нужно вычислить, какая часть круга попадает в прямоугольник. Круг находится целиком в прямоугольнике, так как радиус круга (\frac{1}{2}) меньше ширины (1) и длины (2) прямоугольника.

Теперь найдем вероятность. Площадь прямоугольника равна:

[
S_{\text{rectangle}} = 2 \cdot 1 = 2
]

Вероятность того, что (\angle ARD) является тупым углом:

[
P = \frac{S{\text{circle}}}{S{\text{rectangle}}} = \frac{\frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\pi}{8}
]

Теперь приближаем (\frac{\pi}{8}) к виду (\frac{X}{400}):

[
\frac{\pi}{8} \approx \frac{3.14}{8} \approx 0.3925
]

Сравнивая это с (\frac{X}{400}):

[
\frac{X}{400} \approx 0.3925 \implies X \approx 0.3925 \cdot 400 \approx 157
]

Так как (X) должен быть целым числом, мы округляем до 157. Таким образом, конечный ответ:

[
\boxed{157}
]