Докажите что если диагонали четырехугольника разделяют его на 2 пары подобных треугольников, то около него можно описать окружность. Искал, искал, не нашел информации как доказать. Сам пробовал, не получилось. буду благодарен, если поможете...

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы доказать, что если диагонали четырехугольника разделяют его на две пары подобных треугольников, то вокруг него можно описать окружность, воспользуемся определением подобия треугольников и свойствами вписанных углов.

Обозначим четырехугольник ABCD, у которого диагонали AC и BD пересекаются в точке E. Предположим, что треугольники ABE и CDE подобны, а также треугольники ADE и BCE.

Согласно свойству подобных треугольников, если треугольники ABE и CDE подобны, то:

[
\frac{AB}{CD} = \frac{AE}{CE} = \frac{BE}{DE}.
]

Аналогично,

[
\frac{AD}{BC} = \frac{AE}{BE} = \frac{DE}{CE}.
]

Так как треугольники ABE и CDE имеют одинаковые углы между сторонами, угол ABE равен углу CDE, и угол ADE равен углу BCE (поскольку соответствующие углы равны по определению подобия).

Теперь рассмотрим угол ACD и угол BDA. Так как углы ABE и CDE равны, и углы ADE и BCE равны, то:

[
\angle ABE + \angle CDE = \angle ADE + \angle BCE.
]

Поскольку сумма углов четырехугольника ABCD равна 360 градусам, мы можем сказать, что противоположные углы ABC и ADC также равны. Это следует из того, что сумма углов, лежащих на одной прямой, равна 180 градусам.

Теперь, если провести окружность вокруг четырехугольника ABCD, то все его углы должны быть вписаны в окружность, что возможно только при выполнении условия, что сумма противоположных углов равна 180 градусам. То есть:

[
\angle A + \angle C = 180^\circ, \quad \angle B + \angle D = 180^\circ.
]

Таким образом, мы можем утверждать, что четырехугольник ABCD является вписанным, а значит, вокруг него можно описать окружность.

Следовательно, если диагонали четырехугольника делят его на две пары подобных треугольников, то окружность вокруг этого четырехугольника действительно существует, и мы завершили доказательство.