Координаты точки на окружности по направлению вектора от центра круга в градусах (найти sinдругим путем) Мне интересна сущность синуса и косинуса и откуда они взяли сам прямоугольный треугольник, по какой формуле? Я хочу найти способ найти синус или косинус другим путем без черчения или зубрения

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Синус и косинус — это функции, которые описывают соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника, но они также могут быть рассмотрены в контексте окружности.

Понимание синуса и косинуса через окружность

Синус и косинус могут быть поняты через единичную окружность (окружность радиусом 1, центром в начале координат). На этой окружности:

Косинус угла ( \theta ) (в градусах или радианах) соответствует x-координате точки на окружности.Синус угла ( \theta ) соответствует y-координате этой же точки.

Если мы знаем угол ( \theta ), то мы можем сразу определить координаты точки ( (x, y) ) на окружности:

( x = \cos(\theta) )( y = \sin(\theta) )Получение синуса и косинуса без использования треугольника

Если мы хотим избежать использования прямоугольного треугольника, можно воспользоваться следующими методами:

Ряд Тейлора:
Синус и косинус можно выражать через ряд Тейлора, который позволяет находить значения этих функций для любого угла:

Для косинуса:
[
\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots
]Для синуса:
[
\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots
]
Здесь ( x ) — это угол в радианах.

Формулы Эйлера:
Другой подход — использование комплексных чисел и формулы Эйлера:
[
e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)
]
Здесь ( e ) — основание натурального логарифма, ( i ) — мнимая единица. Из этой формулы можно извлечь значения синуса и косинуса:

( \cos(x) = \text{Re}(e^{ix}) )( \sin(x) = \text{Im}(e^{ix}) )

Иконография:
Идея использования окружности может быть показана без рисования треугольников — представить себе движение по окружности. Без конкретного черчения можно просто представить, что при вращении на угол ( \theta ), изменение координат по горизонтали и вертикали определяет косинус и синус соответственно.

Заключение

Синус и косинус брал свои корни из изучения треугольников, но их значения можно получить через более абстрактные подходы, такие как ряды Тейлора или комплексные числа. Вы можете использовать эти методы для нахождения значений синуса и косинуса, не опираясь на геометрические конструкции.