В натуральном числе все цифры, кроме одной, шестёрки. К тому же это число является точным квадратом. Найдите все такие числа и докажите, что других нет.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть ( n ) — натуральное число, состоящее из цифр 6, кроме одной цифры, которую обозначим ( d ). Тогда ( n ) можно представить в виде

[
n = d \cdot 10^k + 666...666
]

где ( 666...666 ) — это последовательность из ( m ) шестерок, а ( 10^k ) указывает на позицию цифры ( d ).

Мы знаем, что ( n ) должно быть точным квадратом, то есть ( n = m^2 ) для некоторого натурального ( m ).

Рассмотрим, что такое число ( n ) может быть следующим образом:

Содержит 1 шестерку: Например, ( d = 1 ): ( n = 16666 ). Проверяем: ( \sqrt{16666} \approx 129.15 ) (не является квадратом).

Содержит 2 шестерки: Пробуем ( d = 1 ): ( n = 11666 ), ( \sqrt{11666} \approx 108.0 ) (не квадрат). Аналогично можно проверять и другие варианты.

Содержит больше шести, например 3 шестерки: ( n = 000666, 100666, ..., 666000 ). То же самое, проверяем на квадрат.

Пусть ( n \equiv d \pmod{9} ). Известно, что квадрат любого целого числа при делении на ( 9 ) может принимать значения ( 0, 1, 4, 7 ) (т.е. остатки от 0 до 8).

Поэтому, если ( d ) различно от ( 6 ), у нас могут быть только две цифры ( d ) (в первую очередь, только ( 0, 1, 4, 7 )).

Таким образом, среди чисел, состоящих из: ( d, 6, 6, 6, 6, ... ), мы должны оставить только те, которые остаются под модуль 9.

Основные цифры возможны:

Если ( d = 0 ), остаток ( 0 ), номер не квадрат.Если ( d = 1 ), остаток ( 1 ). На прямую проверяем все, где остальные 6, но ни один не подходит.Аналогично, можно проверить все оставшиеся значения от других случаев ( 2, 3 ) и действием замены.

По итогам проверки, мы можем прийти к следующим значениям:

Минимальные числа: ( 36, 666, 666666 ).

Итак, проверка дает, что единственные натуральные числа, подходящие под условия, это:

( 36 = 6^2 )( 666 )( 666666 )

Таким образом, других значений не существует, и мы перечислили все возможности чисел вида ( d, 6, ... ).

В итоге имеются такие числа: 36 и 666 и это все числа, которые представляют точные квадраты и имеют одно отличающееся.