Дано скалярное поле u = x^2 + y^2 - 3x + 2y и точки M (0; 0; 0) и N (3; 4; 0). Найти производную поля u в точке M по направлению, идущему к точке N

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти производную скалярного поля ( u ) в точке ( M ) по направлению к точке ( N ), первым делом нужно выполнить следующие шаги:

Определить вектор направления от точки ( M ) к точке ( N ).Найти градиент скалярного поля ( u ).Найти производную поля ( u ) в точке ( M ) по направлению к ( N ).Шаг 1: Вектор направления

Точки:

( M(0, 0) )( N(3, 4) )

Вектор направления ( \mathbf{d} ) от точки ( M ) к точке ( N ) можно определить как:
[
\mathbf{d} = N - M = (3, 4) - (0, 0) = (3, 4)
]

Шаг 2: Градиент скалярного поля

Скалярное поле ( u = x^2 + y^2 - 3x + 2y ). Найдем его градиент ( \nabla u ):
[
\nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y} \right)
]

Рассчитаем частные производные:
[
\frac{\partial u}{\partial x} = 2x - 3
]
[
\frac{\partial u}{\partial y} = 2y + 2
]

Теперь найдем градиент в точке ( M(0, 0) ):
[
\nabla u(0, 0) = \left( 2(0) - 3, 2(0) + 2 \right) = (-3, 2)
]

Шаг 3: Производная по направлению

Теперь нам нужно найти производную поля ( u ) в точке ( M ) по направлению ( \mathbf{d} ):
[
\text{Dir}(M, N) = \frac{\mathbf{d}}{||\mathbf{d}||} = \frac{(3, 4)}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{(3, 4)}{5} = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)
]

Теперь находим направленную производную:
[
D{\mathbf{d}} u = \nabla u \cdot \text{Dir}(M, N) = (-3, 2) \cdot \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)
]
Это скалярное произведение:
[
D{\mathbf{d}} u = -3 \cdot \frac{3}{5} + 2 \cdot \frac{4}{5} = -\frac{9}{5} + \frac{8}{5} = -\frac{1}{5}
]

Ответ

Таким образом, производная поля ( u ) в точке ( M ) по направлению к точке ( N ) равна ( -\frac{1}{5} ).