Теория вероятности и статистика Случайные величины имеют нормальное распределение с параметрами X1 ∈ (-2;2) X2 ∈ (2;2) X3 ∈ (-2;3)
а) написать выражения для плотности распределения вероятности каждой случайной величины f1(x), f2(x), f3(x).
б) Построить графики плотности распределения вероятности f1(x) и f2(x), f1(x) и f3(x) с учетом правила 3σ (на одном рисунке два графика)
в) Найти вероятности попадания каждой величины в интервалы (-3,2; 3,7), (-4,9; 6,2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для случайных величин с нормальным распределением мы можем указать их плотности вероятности в виде:

а) Плотности распределения вероятности

Плотность вероятности нормального распределения задается следующей формулой:

[
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
]

где ( \mu ) – математическое ожидание, ( \sigma ) – стандартное отклонение.

Для предложенных случайных величин:

Случайная величина ( X_1 ):

Параметры: ( \mu_1 = 0 ), ( \sigma_1 = 2 )Плотность:
[
f_1(x) = \frac{1}{2 \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{8}}
]

Случайная величина ( X_2 ):

Параметры: ( \mu_2 = 2 ), ( \sigma_2 = 2 )Плотность:
[
f_2(x) = \frac{1}{2 \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - 2)^2}{8}}
]

Случайная величина ( X_3 ):

Параметры: ( \mu_3 = -2 ), ( \sigma_3 = 3 )Плотность:
[
f_3(x) = \frac{1}{3 \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x + 2)^2}{18}}
]б) Построение графиков

Графики плотности распределения вероятности можно построить, используя пакеты для визуализации, такие как Matplotlib в Python. Ниже приведен пример кода для построения графиков:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Определяем плотности
x1 = np.linspace(-5, 5, 1000)
f1 = (1/(2*np.sqrt(2*np.pi))) * np.exp(-x1**2 / 8)
x2 = np.linspace(-2, 6, 1000)
f2 = (1/(2*np.sqrt(2*np.pi))) * np.exp(-(x2 - 2)**2 / 8)
x3 = np.linspace(-6, 2, 1000)
f3 = (1/(3*np.sqrt(2*np.pi))) * np.exp(-(x3 + 2)**2 / 18)
# Построение графиков
plt.figure(figsize=(12, 6))
# График f1 и f2
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.title('Графики f1(x) и f2(x)')
plt.plot(x1, f1, label='f1(x)')
plt.plot(x2, f2, label='f2(x)')
plt.xlim(-5, 6)
plt.ylim(0, 0.25)
plt.legend()
# График f1 и f3
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.title('Графики f1(x) и f3(x)')
plt.plot(x1, f1, label='f1(x)')
plt.plot(x3, f3, label='f3(x)')
plt.xlim(-6, 5)
plt.ylim(0, 0.25)
plt.legend()
plt.show()в) Нахождение вероятностей

Чтобы найти вероятности попадания случайных величин в заданные интервалы, нужно использовать интеграл плотности вероятности, или же стандартные функции для нахождения вероятностей.

Вероятности для ( X_1 ):
[
P(-3 < X_1 < 2) = P\left(\frac{-3 - 0}{2} < Z < \frac{2 - 0}{2}\right) = P(-1.5 < Z < 1)
]
[
P(-4.9 < X_1 < 6.2) = P\left(\frac{-4.9 - 0}{2} < Z < \frac{6.2 - 0}{2}\right) = P(-2.45 < Z < 3.1)
]

С помощью интегрирования или таблиц нормального распределения (или встроенных функций библиотек) можно найти соответствующие вероятности.

Аналогично, можно вычислить вероятности для ( X_2 ) и ( X_3 ).

Общая идея заключается в том, что вам нужно преобразовать пределы интервалов в значения стандартизированной нормальной случайной величины ( Z ).

Пожалуйста, если нужна помощь с расчетами вероятностей, дайте знать!