Кто поможет с математикой? Даны функции: f1(x) = ax^2 + ax + 1 и f2(x) = x^2 + bx + b^2. Докажите, что только одна функция может иметь решения.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы доказать, что только одна из функций ( f_1(x) = ax^2 + ax + 1 ) и ( f_2(x) = x^2 + bx + b^2 ) может иметь решения, нужно рассмотреть их дискриминанты.

Найдём дискриминанты обеих функций.

Для функции ( f_1(x) ):
[
D_1 = b^2 - 4ac = a^2 - 4a \cdot 1 = a^2 - 4a
]
Функция ( f_1(x) ) будет иметь решения (реальные корни), если ( D_1 \geq 0 ):
[
a^2 - 4a \geq 0
]
Это неравенство можно разложить на множители:
[
a(a - 4) \geq 0
]
Корни этого неравенства: ( a = 0 ) и ( a = 4 ). Мы можем проанализировать знаки промежутков:

Для ( a < 0 ): ( a(a - 4) > 0 )Для ( 0 \leq a \leq 4 ): ( a(a - 4) \leq 0 )Для ( a > 4 ): ( a(a - 4) > 0 )

Таким образом, функция ( f_1(x) ) имеет корни, когда ( a \leq 0 ) или ( a \geq 4 ).

Теперь найдем дискриминант для функции ( f_2(x) ): [
D_2 = b^2 - 4ac = b^2 - 4 \cdot 1 \cdot b^2 = b^2 - 4b^2 = -3b^2
]
Дискриминант ( D_2 ) будет неотрицательным, если:
[
-3b^2 \geq 0 \implies b^2 = 0 \implies b = 0
]
Следовательно, функция ( f_2(x) ) имеет решение только при ( b = 0 ).

Теперь рассмотрим оба случая вместе:

Если ( b = 0 ), то функция ( f_2(x) = x^2 ), которая имеет только один корень (в точке ( x = 0 )).Если ( a \leq 0 ) или ( a \geq 4 ), тогда функция ( f_1(x) ) имеет решения.

Таким образом, когда ( f_1(x) ) имеет корни, ( f_2(x) ) может иметь всего один корень (который находится в точке ( x = 0 )). Если ( f_1(x) ) не имеет корней (для ( 0 < a < 4 )), тогда ( f_2(x) ) может иметь корни только тогда, когда ( b = 0 ).

Чтобы подытожить, только одна из функций может иметь множество корней в зависимости от значений параметров ( a ) и ( b ). Поэтому доказано, что только одна из функций может иметь решения.