1. Проведите исследование функции у =- x^3+ 27x + 8 и постройте ее график.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы провести исследование функции ( y = -x^3 + 27x + 8 ), начнем с определения её основных характеристик.

1. Найдем производную

Найдем первую производную функции для определения критических точек:

[
y' = -3x^2 + 27
]

2. Решение уравнения для критических точек

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

[
-3x^2 + 27 = 0
]

Решим это уравнение:

[
3x^2 = 27 \
x^2 = 9 \
x = \pm 3
]

Таким образом, критические точки: ( x = 3 ) и ( x = -3 ).

3. Определим второй производной для теста на экстремум

Теперь найдем вторую производную, чтобы определить тип критических точек:

[
y'' = -6x
]

Теперь подставим критические точки в вторую производную:

Для ( x = 3 ):
[
y''(3) = -6 \cdot 3 = -18 \quad (\text{максимум})
]

Для ( x = -3 ):
[
y''(-3) = -6 \cdot (-3) = 18 \quad (\text{минимум})
]

4. Найдем значения функции в критических точках

Теперь найдем значения функции в этих точках:

( y(3) = -3^3 + 27 \cdot 3 + 8 = -27 + 81 + 8 = 62 )( y(-3) = -(-3)^3 + 27 \cdot (-3) + 8 = 27 - 81 + 8 = -46 )

Таким образом, у нас есть:

Максимум в точке ( (3, 62) )Минимум в точке ( (-3, -46) )5. Исследуем поведение функции на краях

Исследуем границы функции, когда ( x \to -\infty ) и ( x \to +\infty ):

При ( x \to -\infty ), ( y \to +\infty )При ( x \to +\infty ), ( y \to -\infty )6. Построение графика

Мы знаем, что функция имеет максимум в точке ( (3, 62) ), минимум в ( (-3, -46) ) и асимптотическое поведение. Теперь можем нарисовать график функции, используя эти ключевые точки:

У нас есть точка максимума ( (3, 62) ).Мы имеем минимум в ( (-3, -46) ).Функция уходит на бесконечность слева и на минус бесконечность справа.

График будет выглядеть как кубическая парабола, которая начинается снизу, поднимается до maxima, затем опускается к минимуму и продолжает уходить вниз.

Для построения графика функции можно воспользоваться различными графическими программами или онлайн-калькуляторами. Однако, на основании вышеуказанного анализа, мы можем сделать вывод о том, как будет выглядеть график функции ( y = -x^3 + 27x + 8 ).