Вычислить площадь фигуры , ограниченных заданными линиями.
Y=1/x y=x y=4 x=0 С решением!)) Заранее большое спасибо!!

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми ( y = \frac{1}{x} ), ( y = x ), ( y = 4 ) и вертикальной линией ( x = 0 ), сначала надо найти точки пересечения этих линий.

Найдем точки пересечения:

Пересечение ( y = \frac{1}{x} ) и ( y = x ):
[
\frac{1}{x} = x \implies 1 = x^2 \implies x = 1 \text{ или } x = -1.
]
Так как ( x > 0 ) в данном контексте, рассматриваем только ( x = 1 ).

Пересечение ( y = \frac{1}{x} ) и ( y = 4 ):
[
\frac{1}{x} = 4 \implies x = \frac{1}{4}.
]

Пересечение ( y = x ) и ( y = 4 ):
[
x = 4.
]

Теперь у нас есть три важные точки:

( (1, 1) ) (пересечение ( y = \frac{1}{x} ) и ( y = x )),( \left(\frac{1}{4}, 4\right) ) (пересечение ( y = \frac{1}{x} ) и ( y = 4 )),( (4, 4) ) (пересечение ( y = x ) и ( y = 4 )).

Определим границы интегрирования:
Площадь между кривыми будет находиться в пределах от ( x = \frac{1}{4} ) до ( x = 1 ) и от ( x = 1 ) до ( x = 4 ).

Вычислим площадь в двух частях:

От ( \frac{1}{4} ) до ( 1 ):
В этом интервале верхняя кривая - это ( y = 4 ), а низшая - ( y = \frac{1}{x} ).
[
S1 = \int{\frac{1}{4}}^{1} \left( 4 - \frac{1}{x} \right) \, dx
]

– Вычислим интеграл:
[
S1 = \int{\frac{1}{4}}^{1} 4 \, dx - \int{\frac{1}{4}}^{1} \frac{1}{x} \, dx
]
[
= 4\left[x\right]{\frac{1}{4}}^{1} - \left[\ln|x|\right]_{\frac{1}{4}}^{1}
]
[
= 4(1 - \frac{1}{4}) - (\ln(1) - \ln(\frac{1}{4}))
]
[
= 4 \cdot \frac{3}{4} - (0 + \ln(4)) = 3 - \ln(4).
]

От ( 1 ) до ( 4 ):
В этом интервале верхняя кривая - это ( y = 4 ), а низшая - ( y = x ).
[
S2 = \int{1}^{4} \left( 4 - x \right) \, dx
]

– Вычислим интеграл:
[
S2 = \left[ 4x - \frac{x^2}{2} \right]{1}^{4}
]
[
= \left( 16 - 8 \right) - \left( 4 - \frac{1}{2} \right)
]
[
= 8 - \left( 4 - 0.5 \right) = 8 - 3.5 = 4.5.
]

Общая площадь:
Общая площадь ( S = S_1 + S_2 ):
[
S = (3 - \ln(4)) + 4.5 = 7.5 - \ln(4).
]

Таким образом, искомая площадь фигуры равна:
[
S = 7.5 - \ln(4).
]