Найти объем тела, полученного при вращении вокруг ОХ области, ограниченной графиками заданных функций
y=x^3, x=y С решением!!))

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти объем тела, полученного при вращении области, ограниченной графиками ( y = x^3 ) и ( x = y ) вокруг оси ( OX ), воспользуемся методом дисков.

Сначала найдем точки пересечения кривых ( y = x^3 ) и ( x = y ). Подставим ( y = x ) в уравнение ( y = x^3 ):

[
x = x^3.
]

Переносим все в одну сторону:

[
x^3 - x = 0.
]

Факторизуем:

[
x(x^2 - 1) = 0.
]

Решения:

[
x = 0, \quad x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \text{ и } x = 1.
]

Таким образом, точки пересечения — это ( (-1, -1) ), ( (0, 0) ) и ( (1, 1) ).

Возьмем для вычисления объема область, ограниченную графиками от ( x = -1 ) до ( x = 1 ).

Формула для объема тела вращения вокруг оси ( OX ):

[
V = \pi \int_{a}^{b} (f(x)^2 - g(x)^2) \, dx,
]

где ( f(x) ) — верхняя функция, а ( g(x) ) — нижняя функция. В нашем случае:

Для ( x ) от ( -1 ) до ( 0 ): верхняя функция ( f(x) = x ), нижняя функция ( g(x) = x^3 ).Для ( x ) от ( 0 ) до ( 1 ): верхняя функция ( f(x) = x ), нижняя функция ( g(x) = x^3 ).

Теперь вычислим интеграл по частям.

1) Для ( x ) от (-1) до (0):

[
V1 = \pi \int{-1}^{0} \left( x^2 - (x^3)^2 \right) dx = \pi \int_{-1}^{0} \left( x^2 - x^6 \right) dx.
]

2) Для ( x ) от (0) до (1):

[
V2 = \pi \int{0}^{1} \left( x^2 - (x^3)^2 \right) dx = \pi \int_{0}^{1} \left( x^2 - x^6 \right) dx.
]

Теперь вычислим оба интеграла.

Сначала вычислим ( V_1 ):

[
V1 = \pi \int{-1}^{0} (x^2 - x^6) \, dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^7}{7} \right]_{-1}^{0}.
]

Подставляем пределы:

[
V_1 = \pi \left( \left(0\right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-1)^7}{7} \right) \right) = \pi \left( 0 - \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{7}\right) \right).
]

Считаем:

[
-\frac{1}{3} + \frac{1}{7} = -\frac{7}{21} + \frac{3}{21} = -\frac{4}{21}.
]

Таким образом:

[
V_1 = \pi \left( \frac{4}{21} \right) = \frac{4\pi}{21}.
]

Теперь вычислим ( V_2 ):

[
V2 = \pi \int{0}^{1} (x^2 - x^6) \, dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{1}.
]

Подставляем пределы:

[
V_2 = \pi \left( \left(\frac{1^3}{3} - \frac{1^7}{7}\right) - (0) \right) = \pi \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{7} \right).
]

Считаем:

[
\frac{1}{3} - \frac{1}{7} = \frac{7}{21} - \frac{3}{21} = \frac{4}{21}.
]

Таким образом:

[
V_2 = \pi \left( \frac{4}{21} \right) = \frac{4\pi}{21}.
]

Общий объем:

[
V = V_1 + V_2 = \frac{4\pi}{21} + \frac{4\pi}{21} = \frac{8\pi}{21}.
]

Итак, объем тела, полученного при вращении области вокруг оси ( OX ), равен:

[
\boxed{\frac{8\pi}{21}}.
]