4.Геометрия.Пирамида. Правильная пирамида. Усечённая пирамида. Апофема правильной четырехугольной пирамиды
????? равна 8, радиус описанной около основания окружности
равен 3. Найдите синус двугранного угла при основании
пирамиды.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения синуса двугранного угла при основании правильной четырехугольной пирамиды, находим необходимые для этого значения.

Обозначим:

( h ) — высота пирамиды.( a ) — длина ребра основания пирамиды (так как основание — квадрат, то это сторона квадрата).( r ) — радиус описанной окружности около основания, равен 3.( s ) — апофема пирамиды, равна 8.

Радиус описанной окружности около квадрата равен:
[
r = \frac{a}{\sqrt{2}}
]
Подставим ( r = 3 ):
[
3 = \frac{a}{\sqrt{2}} \implies a = 3\sqrt{2}
]

Теперь найдем высоту ( h ) пирамиды. Для этого воспользуемся апофемой. В правильной пирамиде высота, радиус описанной окружности основания и апофема образуют прямоугольный треугольник, где:

один катет — высота ( h ),второй катет — радиус описанной окружности ( r = 3 ),гипотенуза — апофема ( s = 8 ).

По теореме Пифагора имеем:
[
s^2 = h^2 + r^2
]
Подставим известные значения:
[
8^2 = h^2 + 3^2
]
[
64 = h^2 + 9 \implies h^2 = 64 - 9 = 55 \implies h = \sqrt{55}
]

Далее находим синус двугранного угла при основании, который обозначим как ( \alpha ). Синус угла ( \alpha ) может быть найден как отношение противолежащего катета к гипотенузе:
[
\sin \alpha = \frac{r}{s} = \frac{3}{8}
]

Таким образом, синус двугранного угла при основании правильной четырёхугольной пирамиды равен:
[
\sin \alpha = \frac{3}{8}
]