Давайте решим уравнение ( \frac{5}{4}x^2 + 7x + 9 = 0 ).

Для начала, можем умножить все уравнение на 4, чтобы избавиться от дроби:

[
4 \cdot \left(\frac{5}{4}x^2 + 7x + 9\right) = 0 \implies 5x^2 + 28x + 36 = 0.
]

Теперь у нас есть квадратное уравнение вида ( ax^2 + bx + c = 0 ), где ( a = 5 ), ( b = 28 ), ( c = 36 ).

Для нахождения корней уравнения воспользуемся дискриминантом ( D ):

[
D = b^2 - 4ac = 28^2 - 4 \cdot 5 \cdot 36.
]

Рассчитаем значения:

[
D = 784 - 720 = 64.
]

Так как дискриминант положительный (( D > 0 )), уравнение имеет два различных вещественных корня.

Теперь находим корни по формуле:

[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-28 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 5}.
]

Рассчитаем корни:

[
\sqrt{64} = 8,
]

[
x_{1,2} = \frac{-28 \pm 8}{10}.
]

Теперь найдем оба корня:

[
x_1 = \frac{-28 + 8}{10} = \frac{-20}{10} = -2.
]

[
x_2 = \frac{-28 - 8}{10} = \frac{-36}{10} = -3.6.
]

Таким образом, решение уравнения:

[
x_1 = -2, \quad x_2 = -3.6.
]