Исследуйте функцию y=x(x-2)^2 и постройте её график.Найдите наибольший и наименьшее значение этой функции на отрезке[0,5;2,5].

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции y=x(x-2)^2 на отрезке [0.5; 2.5], сначала найдем критические точки функции.

Для этого найдем производную функции y=x(x-2)^2:
y' = 3x^2 - 8x

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
3x^2 - 8x = 0
x(3x - 8) = 0
x = 0 или x = 8/3

Теперь найдем значение функции в найденных критических точках и на концах отрезка [0.5; 2.5]:
y(0.5) = 0.5(0.5-2)^2 ≈ 1.125,
y(2.5) = 2.5(2.5-2)^2 = 0.875,
y(0) = 0,
y(8/3) = 8/3(8/3-2)^2 ≈ 2.3704.

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [0.5; 2.5] равно примерно 2.3704, а наименьшее - 0.875.

Теперь построим график функции y=x(x-2)^2:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
x = np.linspace(0.5, 2.5, 1000)
y = x*(x-2)**2
plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График функции y=x(x-2)^2 на отрезке [0.5; 2.5]')
plt.grid(True)
plt.show()

На графике можно увидеть, что функция имеет локальный максимум в точке около x=2.37 и локальный минимум в точке x=2.5.