Найдите площадь равнобедренной трапеции, диагональ которой равна 3/2 см и составляет с основанием угол 45

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь равнобедренной трапеции можно найти по формуле: S = (a + b) * h / 2, где a и b - основания трапеции, h - высота трапеции.

Заметим, что в равнобедренной трапеции диагонали равны, поэтому верхнее основание равно 3/2 см.

Пусть основание трапеции равно a, тогда b = 3/2 см.

Так как диагональ составляет угол 45 градусов с основанием, то она делит трапецию на два прямоугольных треугольника.

Получим уравнение для нахождения высоты h:
h^2 = c^2 - (a - b)^2,
где c - диагональ трапеции.

h^2 = (3/2)^2 - (a - 3/2)^2,
h = sqrt(9/4 - a^2 + 3a - 9/2)

Площадь трапеции:
S = (a + 3/2) * sqrt(9/4 - a^2 + 3a - 9/2) / 2

Теперь найдем максимум площади трапеции с помощью производной:
d(S)/d(a) = 1/2 (sqrt(9/4 - a^2 + 3a - 9/2) + (a + 3/2) 2*(3a - 3)/2/sqrt(9/4 - a^2 + 3a - 9/2)) = 0

Упростим уравнение:
sqrt(9/4 - a^2 + 3a - 9/2) = a^2 - 3a + 9/2

Переносим все влево и возведем обе части в квадрат:
(9/4 - a^2 + 3a - 9/2) = (a^2 - 3a + 9/2)^2

Simplify:
a = 1

Таким образом, основание трапеции равно 1 см, верхнее основание равно 3/2 см, высота равна sqrt(9/4 - 1^2 + 3 - 9/2) = 1/2 см.

И, наконец, площадь трапеции равна:
S = (1 + 3/2) * 1/2 / 2 = 5/4 кв. см.