Найти dz и d^2z от дважды дифференцируемой функции z = z(x,y) заданной неявно системой уравненийСистема:x = u*ln(v)y = v - ln(v)z = u^2+ v^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения dz и d^2z необходимо найти производные функции z(x, y) по переменным x и y.

Найдем частные производные функции z по переменным x и y:
dz/dx = ∂z/∂u ∂u/∂x + ∂z/∂v ∂v/∂x
dz/dy = ∂z/∂u ∂u/∂y + ∂z/∂v ∂v/∂y

Найдем частные производные функции z по u и v:
∂z/∂u = 2u
∂z/∂v = 2v

Найдем частные производные переменных x и y по u и v:
∂u/∂x = ln(v)
∂u/∂y = 0
∂v/∂x = 0
∂v/∂y = 1 - 1/v

Теперь можем подставить найденные значения в формулы dz/dx и dz/dy:

dz/dx = 2u ln(v) + 2v 0 = 2u ln(v)
dz/dy = 2u 0 + 2v * (1 - 1/v) = 2v - 2

Таким образом, найденные частные производные функции z:
dz/dx = 2u * ln(v)
dz/dy = 2v - 2

Вычислим теперь вторые производные.

Таким образом, найденные вторые частные производные функции z:
d^2z/dx^2 = 2 * ln(v)
d^2z/dy^2 = 2