Решаем неравенство ${\log }_3(x^2-4x+3)\ge -1.$
1) Область определения: $x^2-4x+3>0\Rightarrow (x-1)(x-3)>0$, значит $x<1$ или $x>3$.
2) Так как основание логарифма $3>1$, неравенство эквивалентно
$x^2-4x+3\ge 3^{-1}=\frac{1}{3}.$
3) Преобразуем:
$$x^2-4x+3-\frac{1}{3}\ge 0\Rightarrow x^2-4x+\frac{8}{3}\ge 0\Rightarrow 3x^2-12x+8\ge 0.$$ Дискриминант $D=144-96=48$. Корни:
$$x=\frac{12\pm \sqrt{48}}{6}=\frac{6\pm 2\sqrt{3}}{3}=2\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}.$$
4) Поскольку квадратический трёхчлен неотрицателен вне корней, получаем область решений этого неравенства
$(-\infty ,2-\frac{2\sqrt{3}}{3}]\cup [2+\frac{2\sqrt{3}}{3},\infty ).$
Пересечение с областью определения $x<1$ или $x>3$ даёт окончательно
$$\boxed{(-\infty ,2-\frac{2\sqrt{3}}{3}]\cup [2+\frac{2\sqrt{3}}{3},\infty ).}$$