Решить уравнение — значит найти все значения неизвестных, при которых данное равенство становится истинным.
Коротко формально: для уравнения $F(x)=G(x)$ требуется определить множество решений
$$S=\{x\mid F(x)=G(x)\}.$$
Что обычно подразумевают и на что обращать внимание:
- Результат может быть конечным набором чисел, пустым множеством или бесконечным множеством (например, параметрическое решение).
- Для нескольких неизвестных решение — набор кортежей $(x,y,\dots )$.
- Методики: аналитические преобразования (перенос, деление на ненулевое, факторизация), применение специальных формул, замены, численные методы (Ньютона, деление отрезка) для сложных уравнений.
- Важно учитывать область определения и проверять решения: при возведении в квадрат или умножении на выражение, зависящее от переменной, можно получить посторонние корни.
Примеры:
- Линейное: $ax+b=0\Rightarrow x=-\frac{b}{a}$ при $a\ne 0$.
- Квадратное: $a{x}^2+bx+c=0\Rightarrow x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ (если дискриминант $\ge 0$ — вещественные корни).
Это и есть смысл «решить уравнение».