Обозначим $r=\frac{c}{d}$ и приведём дробь к несократимому виду
$$r=\frac{p}{q},\gcd (p,q)=1,q>0.$$ Требование по делителю: $b\ne 0$. Так как дано $a<0$, знак дроби $a/b$ зависит от знака $b$.
Условия для корректного вещественного значения:
- Если $\frac{a}{b}>0$ (т.е. $b<0$), то выражение вещественно определено для любого рационального показателя $p/q$:
(ab)p/q=∣ab∣p/q. \Big(\frac{a}{b}\Big)^{p/q}=\Big|\frac{a}{b}\Big|^{p/q}.
(ba )p/q= ba p/q. - Если $\frac{a}{b}<0$ (т.е. дробь отрицательна), то вещественное значение существует тогда и только тогда, когда знаменатель в несократимом виде нечётный:
$$q\text{нечётно}.$$ В этом случае можно взять вещественный $q$-й корень отрицательного числа и возвести в степень $p$:
(ab)p/q=(−1)p∣ab∣p/q, \Big(\frac{a}{b}\Big)^{p/q}=(-1)^{p}\Big|\frac{a}{b}\Big|^{p/q},
(ba )p/q=(−1)p ba p/q, (особый случай $p=0$ даёт значение $1$). Если $q$ чётно и дробь приведена (т.е. показатель не целое число), вещественного значения нет.
Дополнительно: если дробь $p/q$ в итоге равна целому $m$ (т.е. $q=1$), то $(\frac{a}{b}{)}^m$ всегда вещественна.
Альтернативные (комплексные) определения:
- Универсально используют комплексную экспоненту через логарифм:
\[
z^{r}=\exp\big(r\Log z\big),\qquad \Log z=\ln|z|+i(\arg z+2\pi k),\ k\in\mathbb Z.
\]
Для отрицательной вещественной базы $x=\frac{a}{b}<0$ получаем множество значений
$$x^{p/q}=|x{|}^{p/q}\exp (i(\pi +2\pi k)\frac{p}{q}),k\in \mathbb{Z},$$ которое даёт ровно $q$ различных значений при $\gcd (p,q)=1$. Принципиальное значение берут при $k=0$:
$$x_{\text{prin}}^{p/q}=|x{|}^{p/q}{e}^{i\pi p/q}.$$ - Если $q$ нечётно, среди этих комплексных значений есть одно вещественное, совпадающее с вещественным определением выше; если $q$ чётно, вещественных значений нет.
Итого: для вещественной корректности нужно $b\ne 0$ и, при отрицательном значении $\frac{a}{b}$, знаменатель $q$ несократимого показателя должен быть нечётным; в общем случае пользуются многозначным комплексным определением через \(\exp(r\Log z)\).