Вероятность события — число от $0$ до $1$, которое показывает, насколько вероятно наступление события. Как считать — зависит от модели. Кратко основные подходы и формулы:
- Классическое (равновероятные исходы): если пространство исходов $S$ конечное и все исходы равновероятны, то для события $A$ $$P(A)=\frac{|A|}{|S|}.$$ Пример: вытянуть туза из колоды — $P=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$.
- Частотное (эмпирическое):
$$P(A)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{N_A(n)}{n},$$ где $N_A(n)$ — число случаев наступления $A$ в $n$ испытаниях.
- Аксиоматическое (общая теория): $P$ удовлетворяет
$$P(A)\ge 0,P(S)=1,$$ и для непересекающихся событий $A_i$ — аддитивность:
$$P\left(\bigcup _i{A}_i\right)=\sum _{i}P(A_i)\text{если}{A}_i\cap A_j=\varnothing (i\ne j).$$
Полезные правила:
- Дополнение: $P(\overline{A})=1-P(A).$ - Сумма для двух событий: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$ - Условная вероятность: $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\text{если}P(B)>0.$ - Независимость: $A$ и $B$ независимы если $P(A\cap B)=P(A)P(B).$ - Формула полной вероятности (при разложении по разбиению $B_i$):
$$P(A)=\sum _{i}P(A\mid B_i)P(B_i).$$ - Формула Байеса:
$$P(B_j\mid A)=\frac{P(A\mid B_j)P(B_j)}{{\sum }_{i}P(A\mid B_i)P(B_i)}.$$
Комбинаторика (для равновероятных исходов):
- Число сочетаний: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$ - Вероятность точного числа успехов $k$ в $n$ независимых испытаниях с вероятностью успеха $p$:
$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}.$$
Как применять: выберите модель (равновероятные исходы, эмпирика, независимые испытания и т.д.), запишите соответствующую формулу и подставьте данные.