1.Решите в натуральных числах уравнение k+n+1 = НОК (k, n) - 4*НОД (k, n) 2.По стадиону бегут 3 спортсмена A, B и C, стартовав одновременно из одного места. Спортсмен А каждый круг пробегает на 2 секунды быстрее В, а В - на 3 секунды быстере С. Когда А финишировал, В осталось пробежать 1 круг, а С - 2 круга. Сколько кругов составляла дистанция?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

K + N + 1 = НОК(K, N) - 4 * НОД(K, N)

НОК(K, N) = K * N / НОД(K, N)
НОД(K, N) = НОК(K, N) / (K + N)

Подставляем данные выражения в уравнение:

K + N + 1 = K N / (K + N) - 4 НОК(K, N) / (K + N)

K + N + 1 = (K N - 4 НОК(K, N)) / (K + N)
(K + N)^2 + K + N = K N - 4 K * N / (K + N)

(K + N)^2 + K + N = (K N (K + N) - 4 K N) / (K + N)

(K + N)^2 + K + N = (K N K + K N N - 4 K N) / (K + N)
(K + N)^2 + K + N = (K^2 N + K N^2 - 4 K N) / (K + N)

(K + N)^2 + K + N = K N (N + K - 4) / (K + N)

(K + N)^2 + K + N = K N (N + K - 4) / (K + N)

K + N > 0

2.
Обозначим скорость спортсмена А за а (время пробега одного круга), скорость спортсмена В за b и скорость спортсмена С за c.

Так как спортсмен В пробегает круг на 3 секунды медленнее спортсмена А, то b = а + 3.
Аналогично, c = b + 3 = а + 6.

Дистанция будет пройдена, когда спортсмен А пробежит круг и спортсмены В и С пробегут 0 и 1 круг соответственно (так как им остаётся пробежать 1 и 2 круга).

Таким образом, дистанция составляет 3 круга.