Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями
a) y=3-x^2; y=x+1
б)y=x^2 ; y=3 ; x=0 ; x=1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

a) Здесь необходимо найти точки пересечения этих двух функций, а затем вычислить площадь между ними.
Сначала найдем точки пересечения:
3-x^2 = x+1
x^2 + x - 2 = 0
(x+2)(x-1) = 0
x = -2 или x = 1

Теперь для определения площади между функциями найдем интеграл:
∫(3 - x^2 - (x+1)) dx от -2 до 1
∫(2 - x^2 - x) dx от -2 до 1
[2x - (x^3/3) - (x^2/2)] от -2 до 1
[21 - (1^3/3) - (1^2/2)] - [2(-2) - ((-2)^3/3) - ((-2)^2/2)]
[2 - 1/3 - 1/2] - [-4 + 8/3 - 2]
[6/6 - 2/6 - 3/6] = 1

Ответ: Площадь фигуры ограниченной функциями y=3-x^2 и y=x+1 равна 1.

б) Здесь необходимо вычислить площадь между функциями x^2 и y=3, ограниченную прямой x=0 и x=1.
Площадь этой фигуры можно найти как разность интегралов:
∫(3 - x^2) dx от 0 до 1

[3x - (x^3/3)] от 0 до 1
[3*1 - (1^3/3)] - [0 - (0^3/3)] = 3 - 1/3 = 8/3

Ответ: Площадь фигуры ограниченной функциями y=x^2 и y=3, x=0 и x=1 равна 8/3.