Исследовать функцию на монотонность и экстремумы y=3x*(в кубе)+x*(в квадрате)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для исследования монотонности и нахождения экстремумов функции y=3x^3+x^2 нужно найти ее производную.

y' = 9x^2 + 2x

Для исследования монотонности и нахождения экстремумов необходимо найти точки, в которых первая производная равна нулю или не существует.

9x^2 + 2x = 0
x(9x + 2) = 0
x=0 или x=-2/9

Теперь проанализируем знак первой производной в интервалах (-бесконечность; -2/9), (-2/9; 0) и (0; +бесконечность).

Для x<0:
y' > 0 (9x^2 + 2x > 0 при x<0) - функция возрастает.

Для -2/9 < x < 0:
y' < 0 (9x^2 + 2x < 0 при -2/9 < x < 0) - функция убывает.

Для x > 0:
y' > 0 (9x^2 + 2x > 0 при x > 0) - функция возрастает.

Таким образом, функция убывает на интервале (-2/9; 0) и возрастает на интервалах (-бесконечность; -2/9) и (0; +бесконечность).

Для нахождения экстремумов найдем вторую производную функции:

y'' = 18x + 2

Подставим найденные точки (x=0 и x=-2/9) во вторую производную:

y''(0) = 2 > 0 - найден экстремум (локальный минимум) в точке x=0.
y''(-2/9) = -4 < 0 - найден экстремум (локальный максимум) в точке x=-2/9.

Итак, у функции y=3x^3+x^2 есть локальный минимум в точке x=0 и локальный максимум в точке x=-2/9.