Вычислить двойной интеграл.
∫∫(x-1)y*ds
Под интегралами G.
G- квадрат со стороной 2, находящийся в 3 четверти, вершина которого располагается в точке (-1;-1)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления двойного интеграла данной функции нам нужно найти пределы интегрирования и выразить ds через dx и dy.

Для квадрата G с вершиной в точке (-1;-1) и стороной 2:
x принадлежит отрезку [-1; 1], y принадлежит отрезку [-1; 1].

Теперь выразим ds через dx и dy. Для этого найдем производные первого и второго порядка функции x и y по x и y, так как область интегрирования является квадратом.

dx/dx = 1, dy/dx = 0, dx/dy = 0, dy/dy = 1

Теперь найдем якобиан:
J = dx/dx dy/dy - dy/dx dx/dy
J = 1 1 - 0 0
J = 1

Таким образом, ds = |J| dxdy = dxdy.

Итак, двойной интеграл по области G от функции (x-1)y:
∫∫(x-1)y dxdy, где x принадлежит отрезку [-1; 1], y принадлежит отрезку [-1; 1].

Теперь вычислим данный интеграл:
∫∫(x-1)y dxdy = ∫[-1;1]dx ∫-1;1y dy
= ∫[-1;1]dx [y(x^2/2 - x) - y^2/2] [-1;1]
= ∫[-1;1]dx [(1/2)(x^2 - 2x) + (1/2)(x^2 - 2)]
= ∫[-1;1]dx [x^2 - x]
= [(1/3)x^3 - (1/2)x^2]|[-1;1]
= ((1/3)- (1/2)) - ((-1/3)-(-1/2))
= (1/6) + (1/6)
= 1/3

Итак, двойной интеграл от функции (x-1)y по области G равен 1/3.