Найти производную y = x(ln^3x-3ln^2x+6lnx-6)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения производной данной функции y = x(ln^3x-3ln^2x+6lnx-6) применим правило дифференцирования произведения функций (производная произведения двух функций равна произведению производной первой функции на вторую функцию плюс произведению первой функции на производную второй функции).

Сначала рассмотрим функцию в скобках как произведение ln(x) и многочлена (ln^3x-3ln^2x+6lnx-6):

f(x) = (ln x)(ln^3x-3ln^2x+6lnx-6)

Теперь продифференцируем функцию в скобках f(x) по правилу дифференцирования логарифма и правилу дифференцирования степенной функции:

f'(x) = (1/x)(ln^3x-3ln^2x+6lnx-6) + ln x*(3ln^2x-6lnx+6)

Теперь продифференцируем исходную функцию y = x* f(x) по правилу дифференцирования произведения функций:

y' = (xf'(x)) + f(x) = x(1/x)(ln^3x-3ln^2x+6lnx-6) + ln x(3ln^2x-6lnx+6) + x*(ln^3x-3ln^2x+6lnx-6)

Раскроем скобки и упростим выражение, получим ответ:

y' = 3ln^3 x - 9ln^2 x + 18lnx - 18 + 3x(ln^2 x - 2lnx + 2) + x ln^3 x - 3ln^2 x + 6lnx - 6

Таким образом, производная функции y = x(ln^3x-3ln^2x+6lnx-6) равна 3ln^3 x - 6ln^2 x + 12lnx + 3x(ln^2 x - 2lnx + 2) - 12.