Вычислить площядь фигуры ограниченной линиями
1) y =2,y=3x-x^2
2)y=-x^2+6x, y=0
3)y=-2sin x, y=sin x, 0 меньше или равен х меньше или равен п/3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Для начала нам нужно найти точки пересечения двух функций:
y = 2 и y = 3x - x^2

2 = 3x - x^2
x^2 - 3x + 2 = 0
(x - 1)(x - 2) = 0
x = 1 или x = 2

Теперь можно найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями. Это будет интеграл от одной функции до другой. В данном случае это:

∫ (3x - x^2 - 2) dx от 1 до 2

= [3/2x^2 - 1/3x^3 - 2x] от 1 до 2
= (6 - 8/3 - 4) - (3/2 - 1/3 - 2)
= (18/3 - 8/3 - 12/3) - (6/3 - 2/3 - 12/3)
= 2/3

Ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2 и y = 3x - x^2, равна 2/3.

2) Точки пересечения y = -x^2 + 6x и y = 0:
-x^2 + 6x = 0
-x(x-6) = 0
x = 0 или x = 6

Используем интеграл для нахождения площади фигуры ограниченной линиями:

∫ (6x - x^2) dx от 0 до 6

= [3x^2 - 1/3x^3] от 0 до 6
= (108 - 216/3) - (0 - 0)
= 108 - 72
= 36

Ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 6x и y = 0, равна 36.

3) В данном случае у нас функции sin(x) и -2sin(x) в пределах от 0 до π/3. Поэтому площадь фигуры между ними будет:

∫ (-2sin(x) - sin(x)) dx от 0 до π/3

= [2cos(x) - cos(x)] от 0 до π/3
= [21/2 - 1/2] - [20 - 1]
= 1 - 1/2
= 1/2

Ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями y = -2sin(x) и y = sin(x) в пределах от 0 до π/3, равна 1/2.