1) Для начала нам нужно найти точки пересечения двух функцийy = 2 и y = 3x - x^2
2 = 3x - x^x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = x = 1 или x = 2
Теперь можно найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями. Это будет интеграл от одной функции до другой. В данном случае это:
∫ (3x - x^2 - 2) dx от 1 до 2
= [3/2x^2 - 1/3x^3 - 2x] от 1 до = (6 - 8/3 - 4) - (3/2 - 1/3 - 2= (18/3 - 8/3 - 12/3) - (6/3 - 2/3 - 12/3= 2/3
Ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2 и y = 3x - x^2, равна 2/3.
2) Точки пересечения y = -x^2 + 6x и y = 0-x^2 + 6x = -x(x-6) = x = 0 или x = 6
Используем интеграл для нахождения площади фигуры ограниченной линиями:
∫ (6x - x^2) dx от 0 до 6
= [3x^2 - 1/3x^3] от 0 до = (108 - 216/3) - (0 - 0= 108 - 7= 36
Ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 6x и y = 0, равна 36.
3) В данном случае у нас функции sin(x) и -2sin(x) в пределах от 0 до π/3. Поэтому площадь фигуры между ними будет:
∫ (-2sin(x) - sin(x)) dx от 0 до π/3
= [2cos(x) - cos(x)] от 0 до π/= [21/2 - 1/2] - [20 - 1= 1 - 1/= 1/2
Ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями y = -2sin(x) и y = sin(x) в пределах от 0 до π/3, равна 1/2.
1) Для начала нам нужно найти точки пересечения двух функций
y = 2 и y = 3x - x^2
2 = 3x - x^
x^2 - 3x + 2 =
(x - 1)(x - 2) =
x = 1 или x = 2
Теперь можно найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями. Это будет интеграл от одной функции до другой. В данном случае это:
∫ (3x - x^2 - 2) dx от 1 до 2
= [3/2x^2 - 1/3x^3 - 2x] от 1 до
= (6 - 8/3 - 4) - (3/2 - 1/3 - 2
= (18/3 - 8/3 - 12/3) - (6/3 - 2/3 - 12/3
= 2/3
Ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2 и y = 3x - x^2, равна 2/3.
2) Точки пересечения y = -x^2 + 6x и y = 0
-x^2 + 6x =
-x(x-6) =
x = 0 или x = 6
Используем интеграл для нахождения площади фигуры ограниченной линиями:
∫ (6x - x^2) dx от 0 до 6
= [3x^2 - 1/3x^3] от 0 до
= (108 - 216/3) - (0 - 0
= 108 - 7
= 36
Ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 6x и y = 0, равна 36.
3) В данном случае у нас функции sin(x) и -2sin(x) в пределах от 0 до π/3. Поэтому площадь фигуры между ними будет:
∫ (-2sin(x) - sin(x)) dx от 0 до π/3
= [2cos(x) - cos(x)] от 0 до π/
= [21/2 - 1/2] - [20 - 1
= 1 - 1/
= 1/2
Ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями y = -2sin(x) и y = sin(x) в пределах от 0 до π/3, равна 1/2.