Вид частного решения y"-2y'+2y=e^x*sinx+e^x+cosx

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем общее решение однородного дифференциального уравнения y"-2y'+2y=0. Характеристическое уравнение для этого уравнения имеет вид:

r^2 - 2r + 2 = 0

Дискриминант этого уравнения D = (-2)^2 - 412 = 4 - 8 = -4, что означает, что уравнение имеет комплексные корни:
r1 = 1 - i, r2 = 1 + i

Таким образом, общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:
y_h = e^x (C1cos(x) + C2sin(x))

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения y"-2y'+2y=e^xsin(x)+e^x+cos(x). Для этого предположим, что частное решение имеет вид y_p = Ae^xsin(x) + Be^x + C*cos(x), где A, B, C - константы.

Вычислим производные этого решения и подставим их в исходное уравнение:
y_p' = Ae^xcos(x) + Asin(x)e^x + Be^x - Csin(x)
y_p" = -2Asin(x)e^x + 2Acos(x)e^x + 2Acos(x)e^x + 2Asin(x)e^x + Be^x - C*sin(x)

Подставим эти выражения в исходное уравнение:
(-2Asin(x)e^x + 2Acos(x)e^x + 2Acos(x)e^x + 2Asin(x)e^x + Be^x - Csin(x)) -2(Ae^xcos(x) + Asin(x)e^x + Be^x - Csin(x)) + 2(Ae^xsin(x) + Be^x + Ccos(x)) = e^xsin(x) + e^x + cos(x)

Упростим данное уравнение и приравняем коэффициенты при e^x*sin(x), e^x и cos(x) к соответствующим значениям в неоднородном уравнении. Решив систему уравнений, найдем значения констант A, B, C.

Подставим эти значения констант в выражение для частного решения и найдем общее решение всего уравнения:
y = y_h + y_p = e^x (C1cos(x) + C2sin(x)) + Ae^xsin(x) + Be^x + Ccos(x)