Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями. Сделать чертеж. 15. а) у = х^2; у=-3х+4

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано:
у = х^2,
у = -3x + 4.

Чтобы найти точки пересечения двух графиков, приравняем уравнения:
х^2 = -3x + 4,
x^2 + 3x - 4 = 0.

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения:
х = (-3 ± √(3^2 - 41(-4))) / 2*1,
х = (-3 ± √(9 + 16)) / 2,
х = (-3 ± √25) / 2.

Два корня:
х1 = (5 - 3) / 2 = 1,
х2 = (-5 - 3) / 2 = -4.

Учитывая, что у = x^2 и у = -3x + 4, подставим найденные значения х:
y1 = 1^2 = 1,
y2 = (-31) + 4 = 1,
y3 = (-4)^2 = 16,
y4 = (-3(-4)) + 4 = 16.

Итак, точки пересечения графиков: (1, 1) и (-4, 16).

Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной этими линиями. Это будет площадь фигуры между x = -4 и x = 1, ограниченная графиками y = x^2 и y = -3x + 4. Построим график:

Площадь этой фигуры можно найти как разность интегралов функций: S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx, где f(x) - более верхняя функция, g(x) - нижняя, a и b - границы по x.

S = ∫[-4,1] ((x^2) - (-3x + 4)) dx,
S = ∫[-4,1] (x^2 + 3x - 4) dx,
S = [(1/3)x^3 + (3/2)x^2 - 4x] | [-4,1],
S = [(1/3)1^3 + (3/2)1^2 - 41] - [(1/3)(-4)^3 + (3/2)(-4)^2 - 4(-4)],
S = [(1/3) + (3/2) - 4] - [(-64/3) + 24 + 16],
S = (1/3 + 3/2 - 4) - (-64/3 + 24 + 16),
S = 7/6 - 4 + 64/3 - 24 - 16,
S = 7/6 - 4 - 12/3,
S = 7/6 - 4 - 4,
S = 7/6 - 8,
S = -41/6.

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиками у = x^2 и y = -3x + 4, равна -41/6.