В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания равна 7, а боковое ребро SA равно 6. Точки M и K принадлежат ребрам SC и AB соответственно, причем AK:KB=SM:MC=4:3. плоскость α содержит прямую KM параллельна прямой S
a)Доказать, что сечение пирамиды SABC плоскостью α - прямоугольник.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала построим треугольник ASK и треугольник CKM.

Так как AK:KB=4:3, то можно обозначить длину отрезка AK за 4x, а длину отрезка KB за 3x. Также обозначим длину отрезка SM за 4y, а длину отрезка MC за 3y.

Так как боковое ребро SA равно 6, то можно применить теорему Пифагора для треугольника ASK
AS^2 = AK^2 + SK^
7^2 = (4x)^2 + 6^
49 = 16x^2 + 36

Также для треугольника CKM
CS^2 = CM^2 + SK^
7^2 = (3y)^2 + 6^
49 = 9y^2 + 36

Теперь найдем длины отрезков AK, KB, SM и MC
16x^2 + 36 = 4
16x^2 = 1
x^2 = 13/1
x = √(13)/4

9y^2 + 36 = 4
9y^2 = 1
y^2 = 13/
y = √13/3

Теперь можем построить прямоугольник ABCD, который получится в результате пересечения плоскости α с пирамидой SABC.

Так как прямая KM параллельна прямой SA, то треугольники ASK и CKM подобны (по двум сторонам и углу между ними)
Таким образом, угол ASK равен углу CKM.

Теперь можем доказать, что сечение пирамиды SABC плоскостью α - прямоугольник:

Треугольник ASK подобен треугольнику CKM (углы равны).Треугольник ASK является прямоугольным (теорема Пифагора).Треугольник CKM является прямоугольным (теорема Пифагора).Следовательно, их пересечение в плоскости α - прямоугольник.

Таким образом, доказано, что сечение пирамиды SABC плоскостью α - прямоугольник.