Вывод формулы для площади пирамиды с помощью определенного интеграла

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь поверхности пирамиды можно найти, используя определенный интеграл. Для этого будем использовать метод интегрирования по площади поверхности.

Пусть у нас есть пирамида с основанием в виде n-угольника, высотой h и сторонами a_1, a_2, ..., a_n. Тогда площадь поверхности пирамиды будет равна сумме площадей всех боковых граней.

Для начала найдем площадь одной боковой грани. Пусть верхняя точка пирамиды находится на расстоянии y от основания, тогда длина стороны боковой грани равна l = (1 - y/h)*a_i. Площадь боковой грани будет равна

dS = ldy = (1 - y/h)a_i*dy.

Теперь суммируем площади всех боковых граней при изменении y от 0 до h:

S = ∫(0, h) ∑(1 - y/h)a_i dy = ∑a_i ∫(0, h) (1 - y/h) dy = ∑a_i [y - y^2/(2h)]|0,h = ∑a_i h/2 = h/2 * ∑a_i.

Таким образом, мы получили формулу для площади поверхности пирамиды через определенный интеграл:

S = h/2 * ∑a_i.