Решите: а) уравнение | х | + | Зх - 1 | = 7; б) неравенство | х | + | Зx - 1 | <= 7; в) неравенство | х | + | Зх - 1 | > 7

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Уравнение |x| + |3x - 1| = 7

Посмотрим на различные случаи:

1) Если x ≥ 0, то уравнение примет вид:
x + 3x - 1 = 7
4x - 1 = 7
4x = 8
x = 2

2) Если x < 0, то уравнение примет вид:
-x + 3(-x) - 1 = 7
-4x - 1 = 7
-4x = 8
x = -2

Таким образом, получаем два решения: x = 2 и x = -2.

б) Неравенство |x| + |3x - 1| ≤ 7

Так как сумма модулей никогда не может быть отрицательной, то можем рассмотреть два случая:

1) Если x ≥ 0, то неравенство примет вид:
x + 3x - 1 ≤ 7
4x - 1 ≤ 7
4x ≤ 8
x ≤ 2

2) Если x < 0, то неравенство примет вид:
-x + 3(-x) - 1 ≤ 7
-4x - 1 ≤ 7
-4x ≤ 8
x ≥ -2

Итак, решением неравенства будет -2 ≤ x ≤ 2.

в) Неравенство |x| + |3x - 1| > 7

Если сумма модулей больше 7, то их разность также будет больше 7, поэтому можем рассмотреть два случая:

1) Если x ≥ 0, то неравенство примет вид:
x + 3x - 1 > 7
4x - 1 > 7
4x > 8
x > 2

2) Если x < 0, то неравенство примет вид:
-x + 3(-x) - 1 > 7
-4x - 1 > 7
-4x > 8
x < -2

Итак, решением неравенства будет x < -2 или x > 2.