Провести полное исследование функции
F(x) = x - √x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала исследуем область определения функции F(x). Так как корень из отрицательного числа не определен в общем случае, то для функции F(x) верно, что x >= 0.

Найдем производную функции F(x) для нахождения точек экстремума:

F'(x) = 1 - 1/(2√x)
F'(x) = (2√x - 1)/(2√x)

Точки экстремума будут, когда F'(x) = 0:
2√x - 1 = 0
2√x = 1
√x = 1/2
x = 1/4

Найдем значение функции в найденной точке экстремума:

F(1/4) = 1/4 - √(1/4) = 1/4 - 1/2 = -1/4

Исследуем поведение функции на интервалах [0; 1/4] и [1/4; +∞).

На интервале [0; 1/4]:
F(0) = 0 - √0 = 0
Так как F(x) убывает на интервале [0; 1/4] и достигает минимума в точке x = 1/4, то можно сделать вывод, что данный интервал является интервалом убывания функции.

На интервале [1/4; +∞):
F(x) = x - √x
F'(x) = (2√x - 1)/(2√x)
При x -> ∞, F'(x) -> 1/2
Таким образом, на интервале [1/4; +∞), функция возрастает.

Итак, исследование функции F(x) = x - √x показывает, что функция имеет точку минимума в x = 1/4, она убывает на интервале [0; 1/4] и возрастает на интервале [1/4; +∞).