Решите тригонометрические уравнения 1) 2cos^4x-3cos^2x+1=02) 4sin^4x-5sin^2x+1=03) 4cosx-4+sin^2x=04) 5sin^2x+6cosx=6

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Пусть (y = \cos^2 x). Тогда исходное уравнение примет вид:
[2y^2 - 3y + 1 = 0]
Решим это квадратное уравнение:
[y = \frac{3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 1}{4}]
[y_1 = 1, y_2 = \frac{1}{2}]
Подставим обратно (\cos^2 x):
[\cos^2 x = 1 \Rightarrow \cos x = \pm 1]
[\cos^2 x = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}]

2) Пусть (y = \sin^2 x). Тогда уравнение изменится на:
[4y^2 - 5y + 1 = 0]
Решим это квадратное уравнение:
[y = \frac{5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4} = \frac{5 \pm 3}{8}]
[y_1 = 1, y_2 = \frac{1}{2}]
Подставим обратно (\sin^2 x):
[\sin^2 x = 1 \Rightarrow \sin x = \pm 1]
[\sin^2 x = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}]

3) Преобразуем уравнение:
[4 \cos x - 4 + \sin^2 x = 0]
[2(2\cos x - 2) + \sin^2 x = 0]
[2(2\cos x - 2) + (1 - \cos^2 x) = 0]
[2\cos x - \cos^2 x = 0]
[\cos x (2 - \cos x) = 0]
[\cos x = 0,\ \cos x = 2 \Rightarrow \text{нет решений}]

4) Преобразуем уравнение:
[5\sin^2 x + 6\cos x = 6]
[5(1 - \cos^2 x) + 6 \cos x = 6]
[5 - 5\cos^2 x + 6\cos x = 6]
[5\cos^2 x - 6\cos x + 1 = 0]
[(5\cos x - 1)(\cos x - 1) = 0]
[\cos x = \frac{1}{5},\ \cos x = 1]
[\sin x = \pm \sqrt{1 - \left(\frac{1}{5}\right)^2} = \pm \frac{2\sqrt{6}}{5},\ \sin x = 0]