Найти частное решение неоднородного уравнения:y'''+16y=x*cos(4x)- sin(2x)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения частного решения данного уравнения будем искать решение в виде суммы частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Данное уравнение имеет вид:

y''' + 16y = x*cos(4x) - sin(2x)

Чтобы найти частное решение, предположим, что частное решение y_p(x) имеет вид y_p(x) = Axcos(4x) + B*sin(2x), где A и B - константы, которые нужно найти.

Теперь найдем производные частного решения:

y_p'(x) = Acos(4x) - 4Axsin(4x) + 2Bcos(2x)
y_p''(x) = -16Axcos(4x) - 8Bsin(2x) - 8Asin(4x)
y_p'''(x) = 64Axsin(4x) - 32Acos(4x)

Подставим найденные производные в изначальное уравнение:

64Axsin(4x) - 32Acos(4x) + 16(Axcos(4x) + Bsin(2x)) = xcos(4x) - sin(2x)

Соберем все члены при соответствующих функциях, и приравняем их к правой части уравнения:

16Axcos(4x) - 32Acos(4x) + 16Bsin(2x) = x*cos(4x) - sin(2x)

Теперь сравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, найдем значения A и B:

16A = 1, A = 1/16
16B = 0, B = 0

Итак, частное решение для данного уравнения равно:

y_p(x) = (1/16) x cos(4x)

Поэтому полное решение данного уравнения будет являться суммой частного решения и общего решения однородного уравнения.