В правильной шестиугольной пирамиде двугранный угол , при стороне основания равен 60 градусов. Сторона основания равна 8 см.Найти высоту и апофему пирамиды. Желательно с рисунком и подробным объяснением

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Посмотрим на пирамиду со стороны, чтобы было понятнее:

8 / \ 8
/ \
/ h \
F/____\ B
8

AB - сторона основания
AF = BF = 8/2 = 4
AFB - равносторонний треугольник (по условию)
m <BAF = 60°
Угол между гранью FA и основанием равен 60°

Проекция вершины C пирамиды на основание в вершину M пирамиды

M
/|\
/ | \
/|\
A 8

AM = AF = 4
CM - высота пирамиды

треугольник ACM - прямоугольный -> AC^2 = AM^2 + CM^2
2 = 16 + CM^2
CM^2 = 2 - 16 = -14

CM не может быть отрицательным, следовательно, двугранный угол в пирамиде с данными параметрами невозможен.

Если предположить, что угол между гранью FA и основанием равен 120° (сумма двух углов), то такая пирамида реализуема.

В данном случае, угол ACM = 60° (комплиментарный угол к стороннему углу фигуры).

AC^2 = 8^2 + h^2
4 = 64 + h^2
h^2 = 4 - 64 = -60

h = sqrt(60) = 2 * sqrt(15) (высота пирамиды)

Чтобы найти апофему, нужно найти радиус вписанного в конуса основания окружности

C___D 8

Так как треугольник АСD - равнобедренный, то AD - высота треугольника АСD.

AB = 8
AD = h = 2 * sqrt(15)
CD = 8 / 2 = 4
MD = AM = 4
АD - средняя линия треугольника, мы можем найти AM по теореме Пифагора

AM = sqrt(AD^2 - MD^2) = sqrt((2*sqrt(15))^2 - 4^2) = sqrt(60)

Теперь найдем BD

BD^2 = (AB - 2 MD)^2 + (AD)^2 = (8 - 2 4)^2 + (2sqrt(15))^2
BD = sqrt(60) = 2 sqrt(15) (апофема)

Таким образом, высота пирамиды равна 2 sqrt(15), а апофема равна 2 sqrt(15).