Найти площадь фигуры ограниченной линиями
1.
[tex]y=2x^2-3x+1 \\y=0[/tex]
2.
[tex]y=\frac{8}{x} \\y=8\\x=4[/tex]
3.
[tex]y=x+1\\y=-x^2+1\\y=0[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Уравнение параболы: [tex]y=2x^2-3x+1[/tex]. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком этой параболы и осью OX, нужно найти площадь под кривой. Мы можем найти её интегрированием функции [tex]y=2x^2-3x+1[/tex] по области от x=0 до x=1.
[tex]A=\int_{0}^{1}(2x^2-3x+1)dx=\left.\left(\frac{2}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+x\right)\right|_0^1=\left(\frac{2}{3}-\frac{3}{2}+1\right) - 0= \frac{2}{3}-\frac{3}{2}+1=1-\frac{3}{2}+\frac{2}{3}=\frac{6}{6}-\frac{9}{6}+\frac{4}{6}=\frac{1}{6}[/tex]
Площадь фигуры, ограниченной линиями y=0 и y=2x^2-3x+1 равна [tex]\frac{1}{6}[/tex].

Фигура ограничена линиями y=8, y= \frac{8}{x} и x=4. Так как y= \frac{8}{x} и y=8 пересекаются в двух точках, нужно найти площадь под графиком сначала от 1 до 4, а затем от 4 до 8.
[tex]A = \int{1}^{4} \frac{8}{x} dx + \int{4}^{8} 8 dx[/tex]
[tex]A = [8\ln(x)]_1^4 + [8x]_4^8[/tex]
[tex]A = 8\ln(4) - 8\ln(1) + 8(8) - 8(4)[/tex]
[tex]A = 8(\ln(4) + 4) = 8(1.3863 + 4) = 8*5.3863 \approx 43.1[/tex]
Площадь фигуры, ограниченной линиями y= \frac{8}{x}, y=8 и x=4, равна приблизительно 43.1.

Фигура ограничена линиями y=x+1, y= -x^2+1 и y=0. Найдём точки пересечения y=x+1 и y=-x^2+1:
[tex]x+1=-x^2+1 => x^2+x=0 => x(x+1)=0 => x=0 и x=-1[/tex]
Площадь фигуры можно получить, посчитав площадь под кривыми между этими точками и между графиком функции y=0:
[tex]A = \int{-1}^{0}(-x+1)dx + \int{0}^{1}(x+1)dx[/tex]
[tex]A = [\frac{-x^2}{2} + x]{-1}^0 + [\frac{x^2}{2} + x]{0}^1[/tex]
[tex]A = [(0) + 0] - [\frac{1}{2} - 1] + [\frac{1}{2} + 1] - (0 + 0)[/tex]
[tex]A = 1.5[/tex]
Площадь фигуры, ограниченной линиями y=x+1, y=-x^2+1 и y=0, составляет 1.5.