1 Чему равно значение функции f(x)=7x^2-6x+3 в точке x-1?
2 Решите показательное уравнение:
49^(x+1)=7
3 Решите логарифмическое неравенство:
log_(1/2)⁡(2x-7)>-1.
4 Упростите:
cos⁡2α+tg α sin⁡2α.
5 Решите тригонометрическое уравнение:
sin⁡2x=√2/2
6 Найдите наименьшее значение функции y=x^3-x^2-8x+4 на отрезке [1;7].
7 Найдите промежутки возрастания функции:
y=1/2 x^4-2x
8 Вычислите неопределенный интеграл:
∫(1/2 cos⁡x+2x-√x)dx
9 К плоскости проведена наклонная МА и перпендикуляр МО, равный 15 см. Угол между наклонной и плоскостью составляет 300. Найдите длины наклонной и ее проекции

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

:

Подставляем x=1 в функцию f(x):
f(1) = 7(1)^2 - 6(1) + 3
f(1) = 7 - 6 + 3
f(1) = 4

Ответ: f(1) = 4.

Преобразуем уравнение 49^(x+1) = 7:
7^2(x+1) = 7
2(x+1) = 1
2x + 2 = 1
2x = -1
x = -1/2

Ответ: x = -1/2.

Решение:
log_(1/2)⁡(2x-7) > -1
2x - 7 > 1/2^(-1)
2x - 7 > 2
2x > 9
x > 4.5

Ответ: x > 4.5.

Решение:
cos(2α) + tan(α)sin(2α)
= cos(2α) + sin(2α)/cos(2α) * sin(2α)
= cos(2α) + sin^2(2α)/cos(2α)
= cos(2α) + (1 - cos^2(2α))/cos(2α)
= 1/cos(2α)
= sec(2α)

Ответ: sec(2α).

Решение:
sin(2x) = √2/2
2x = π/4 + 2kπ, 3π/4 + 2kπ
x = π/8 + kπ, 3π/8 + kπ

Ответ: x = π/8 + kπ, 3π/8 + kπ.

Найдем производную функции y=x^3-x^2-8x+4:
y' = 3x^2 - 2x - 8

Приравниваем производную к нулю и находим критические точки:
3x^2 - 2x - 8 = 0
(x-4)(3x+2) = 0
x = 4, x = -2/3

Подставим значения к краям отрезка [1;7]:
y(1) = -4
y(4) = -40
y(7) = 20

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке [1;7] равно -40 и достигается в точке x=4.

Найдем производную функции y=1/2 x^4 - 2x:
y' = 2x^3 - 2

Точки экстремума:
2x^3 - 2 = 0
x = 1

Изучим знаки производной:
y'(0) < 0, y'(1) = 0, y'(3) > 0

Таким образом, функция возрастает на интервалах (-∞;1) и (3;+∞).

Ответ: Функция возрастает на интервалах (-∞;1) и (3;+∞).

Вычислим интеграл:
∫(1/2 cos⁡x + 2x - √x)dx = 1/2∫cos⁡x dx + 2∫x dx - ∫√x dx
= 1/2sin(x) + x^2 - (2/3)x^1.5 + C

Ответ: 1/2sin(x) + x^2 - (2/3)x^1.5 + C.

По теореме Пифагора, длина наклонной MA:
MA = √(MO^2 + OA^2) = √(15^2 + OA^2) = √(225 + OA^2)

Учитывая угол 30°, имеем:
OA/15 = sin(30°)
OA = 15sin(30°) = 7.5

Тогда длина наклонной MA:
MA = √(225 + 7.5^2) = √(225 + 56.25) = √281.25 ≈ 16.77 см

Проекция:
MO = 15cos(30°) = 15 * √3/2 = 15√3/2 = 7.5√3

Ответ: Длина наклонной MA ≈ 16.77 см, длина проекции ≈ 7.5√3 см.