Найти уравнение касательной плоскости к поверхности z=xy которая перпендикулярна прямой (х+2)/2=(y+2)/=(z-1)/-1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти уравнение касательной плоскости к поверхности z=xy, которая перпендикулярна прямой, сначала найдем производные частных относительно x и y.

Исходное уравнение поверхности: z = xy

Частная производная по x: ∂z/∂x = y
Частная производная по y: ∂z/∂y = x

Для нормали к поверхности z=xy в точке (x₀, y₀):

n = (-∂z/∂x, -∂z/∂y, 1) = (-y₀, -x₀, 1)

Прямая задана параметрически в виде:
x = 2t - 2, y = t - 2, z = -t + 1

Её направляющий вектор:
v = (2, 1, -1)

Так как нормаль к поверхности и направляющий вектор прямой должны быть перпендикулярны, их скалярное произведение равно 0:

n • v = -y₀ 2 - x₀ 1 + 1 * (-1) = 0

2y₀ + x₀ - 1 = 0

Так как уравнение касательной плоскости проходит через точку (2, 2, 4), то подставим значения координат точки в уравнение поверхности z=xy:

4 = 2*2

Таким образом, производные в точке (2, 2) равны 2 и 2.

Далее, используем уравнение касательной плоскости через точку и нормаль:

2(y - 2) + 2(x - 2) + z - 4 = 0

Раскрыв скобки и подставив z = xy, получаем окончательное уравнение касательной плоскости к поверхности z=xy, которая перпендикулярна прямой (х+2)/2=(y+2)/=(z-1)/-1:

2y + 2x + z - 10 = 0